resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
(10-6 y+e^-3 x) d x-2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(10 - 6y + e^-3xr),dx - 2,dy = 0
e pede para resolver encontrando um fator integrante, como no Exemplo 4. O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata e, caso não seja, achar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Reescrevendo em forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, temos
M(x,y)=10 - 6y + e^-3x, N(x,y)=-2
Calculamos
partial Mpartial y=-6, partial Npartial x=0,
logo partial M/partial yneqpartial N/partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu que dependa só de x, usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN =-6-0-2=3
Então
mu(x)=exp!l(integral 3,dxr)=e^3x

Passo 4

Multiplicando toda a equação por e^3x, obtemos
l(10e^3x-6y,e^3x+1r),dx -2e^3x,dy=0
Agora
M^*(x,y)=10e^3x-6y,e^3x+1, N^*(x,y)=-2e^3x,
e
partial M^*partial y=-6e^3x, partial N^*partial x=-2cdot3e^3x=-6e^3x,
portanto a equação multiplicada é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x =10e^3x-6y,e^3x+1
Integrando em x,
phi(x,y) =integrall(10e^3x-6y,e^3x+1r),dx =103e^3x-2y,e^3x+x+h(y)
Impondo partialphi/partial y=N^*=-2e^3x
-2e^3x+h'(y)=-2e^3x Longrightarrow h'(y)=0,
logo h(y) é constante e podemos absorvê-la em C.

Resposta

103,e^3x-2y,e^3x+x=C,
onde C é constante de integração.

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