1^a Questão: Determine por definição a derivada da função abaixo.
h(x)=raizx-2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=raizx-2 usando a definição
h'(x)=limhto0h(x+h)-h(x)h
O conteúdo aqui é derivada pelo quociente de diferença e vamos precisar racionalizar o numerador para eliminar as raízes.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença
h(x+h)-h(x)h =raiz(x+h)-2-raizx-2h =raizx+h-2-raizx-2h

Passo 3

Para lidar com as raízes, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raizx+h-2+raizx-2:
raizx+h-2-raizx-2hcdot raizx+h-2+raizx-2raizx+h-2+raizx-2 =(x+h-2)-(x-2)hl(raizx+h-2+raizx-2r)
No numerador fica x+h-2 - (x-2)=h, então
hhl(raizx+h-2+raizx-2r) =1raizx+h-2+raizx-2

Passo 4

Agora tomamos o limite quando hto0:
h'(x)=limhto01raizx+h-2+raizx-2 =1raizx-2+raizx-2 =12raizx-2

Resposta

h'(x)=12raizx-2, x>2

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