Utilizando a definição de integral sobre um arco, mostre que
\int_{a}^{b} e^{i t} d t=i\left(e^{i a}-e^{i b}\right) \text { e } \int_{a}^{b} e^{i k t} d t=\frac{i}{k}\left(e^{i k a}-e^{i k b}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre duas identidades de integrais:
\int_{a}^{b} e^{i t}\,d t=i\left(e^{i a}-e^{i b}\right)
e
\int_{a}^{b} e^{i k t}\,d t=\frac{i}{k}\left(e^{i k a}-e^{i k b}\right).
Informações dadas: os limites de integração são a e b (reais) e k é um número real (ou complexo, mas aqui assumimos real para simplicidade). A integração é feita em relação a t. A instrução diz para usar a definição de integral sobre um arco — ou seja, a ideia de integrar funções complexas ao longo de uma curva parametrizada —, mas o objetivo final é calcular as integrais acima em termos de valores de exponenciais complexas nos extremos.

Passo 2

Lembrando a definição de integral sobre um arco (linha) em termos de parametrização: se \gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C} é uma curva diferenciável e f é uma função contínua definida na imagem de \gamma, então a integral de f ao longo de \gamma é
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{\alpha}^{\beta} f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt.
Aqui as variáveis são: \gamma(t) é o ponto na curva associado ao parâmetro t, \gamma'(t) é sua derivada complexa, e a integral à direita é uma integral normal (real) de uma função complexa de t. Isso mostra que integrar ao longo de uma curva reduz-se a integrar uma função complexa em um intervalo real — portanto podemos aplicar as mesmas ideias do Teorema Fundamental do Cálculo (primitivas) que usamos em integrais reais, trabalhando componente a componente (parte real e imag.).

Passo 3

Explicação do método pela primitiva (aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções complexas): se g:[a,b]\to\mathbb{C} é contínua e existe uma função G diferenciável com G'(t)=g(t) para todo t\in[a,b], então
\int_{a}^{b} g(t)\,dt = G(b)-G(a).
Para funções da forma g(t)=e^{i k t} isso é aplicável porque e^{i k t} é contínua e diferenciável em t.

Passo 4

Calcule a primitiva de g(t)=e^{i t}. Usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{i t} em relação a t é
\frac{d}{dt} e^{i t} = i e^{i t},
pois \frac{d}{dt}(i t)=i e \frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)e^{u(t)}. Assim uma primitiva de e^{i t} é
F(t)=\frac{1}{i}e^{i t},
porque
F'(t)=\frac{1}{i}\cdot i e^{i t}=e^{i t}.
Note que dividir por i é permitido (pois i\neq 0). Podemos também observar que \frac{1}{i}=-i.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva F(t)=\frac{1}{i}e^{i t}, obtemos
\int_{a}^{b} e^{i t}\,dt = F(b)-F(a) = \frac{1}{i}\bigl(e^{i b}-e^{i a}\bigr).
Fazendo uma simplificação usando \frac{1}{i}=-i temos
\frac{1}{i}\bigl(e^{i b}-e^{i a}\bigr) = -i\bigl(e^{i b}-e^{i a}\bigr) = i\bigl(e^{i a}-e^{i b}\bigr),
o que coincide com a forma pedida. (Se quiseres ver de outro jeito: muitas provas parametricamente ligam essa integral a uma integral sobre o arco da circunferência unitária usando \gamma(t)=e^{it}, e a definição de integral sobre arco dá exatamente a mesma expressão.)

Passo 6

Agora a versão com k. Calcule a derivada de e^{i k t}:
\frac{d}{dt} e^{i k t} = i k\, e^{i k t}.
Portanto uma primitiva é
G(t)=\frac{1}{i k} e^{i k t}.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{a}^{b} e^{i k t}\,dt = G(b)-G(a) = \frac{1}{i k}\bigl(e^{i k b}-e^{i k a}\bigr).
Usando \frac{1}{i k}=\frac{1}{i}\cdot\frac{1}{k}=-\frac{i}{k} obtemos
\frac{1}{i k}\bigl(e^{i k b}-e^{i k a}\bigr) = -\frac{i}{k}\bigl(e^{i k b}-e^{i k a}\bigr) = \frac{i}{k}\bigl(e^{i k a}-e^{i k b}\bigr),
que é exatamente a forma pedida.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} e^{i t}\,d t=i\left(e^{i a}-e^{i b}\right)\n \displaystyle \int_{a}^{b} e^{i k t}\,d t=\frac{i}{k}\left(e^{i k a}-e^{i k b}\right)

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