Utilizando a definição de integral sobre um arco, mostre que
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre duas identidades de integrais:
e
Informações dadas: os limites de integração são
e
(reais) e
é um número real (ou complexo, mas aqui assumimos real para simplicidade). A integração é feita em relação a
. A instrução diz para usar a definição de integral sobre um arco — ou seja, a ideia de integrar funções complexas ao longo de uma curva parametrizada —, mas o objetivo final é calcular as integrais acima em termos de valores de exponenciais complexas nos extremos.
Passo 2
Lembrando a definição de integral sobre um arco (linha) em termos de parametrização: se
é uma curva diferenciável e
é uma função contínua definida na imagem de
, então a integral de
ao longo de
é
Aqui as variáveis são:
é o ponto na curva associado ao parâmetro
,
é sua derivada complexa, e a integral à direita é uma integral normal (real) de uma função complexa de
. Isso mostra que integrar ao longo de uma curva reduz-se a integrar uma função complexa em um intervalo real — portanto podemos aplicar as mesmas ideias do Teorema Fundamental do Cálculo (primitivas) que usamos em integrais reais, trabalhando componente a componente (parte real e imag.).
Passo 3
Explicação do método pela primitiva (aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções complexas): se
é contínua e existe uma função
diferenciável com
para todo
, então
Para funções da forma
isso é aplicável porque
é contínua e diferenciável em
.
Passo 4
Calcule a primitiva de
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
pois
e
. Assim uma primitiva de
é
porque
Note que dividir por
é permitido (pois
). Podemos também observar que
.
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva
, obtemos
Fazendo uma simplificação usando
temos
o que coincide com a forma pedida. (Se quiseres ver de outro jeito: muitas provas parametricamente ligam essa integral a uma integral sobre o arco da circunferência unitária usando
, e a definição de integral sobre arco dá exatamente a mesma expressão.)
Passo 6
Agora a versão com
. Calcule a derivada de
:
Portanto uma primitiva é
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo,
Usando
obtemos
que é exatamente a forma pedida.