Prove que, se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à interseção desses planos.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: se um plano \pi é perpendicular a dois planos secantes \pi_1 e \pi_2, então \pi é perpendicular à reta de interseção desses dois planos.
Informações dadas (explicitamente): \pi\perp\pi_1, \pi\perp\pi_2 e \pi_1\cap\pi_2=\ell é uma reta (ou seja, os planos \pi_1 e \pi_2 são distintos e secantes).
Queremos provar: a reta \ell é perpendicular ao plano \pi (ou, em símbolo, \ell\perp\pi).

Passo 2

Vamos fixar notação e relembrar conceitos que usaremos (devagar e de forma concreta).
  • Para cada plano eu escolho um vetor normal: \mathbf{n} é um vetor normal ao plano \pi, \mathbf{n}_1 é normal a \pi_1 e \mathbf{n}_2 é normal a \pi_2. Um vetor normal a um plano é um vetor perpendicular a todo vetor que esteja no plano.
  • Definição útil: um plano A é perpendicular a um plano B se e somente se um vetor normal de A é perpendicular a um vetor normal de B. Em notação: A\perp B \iff \mathbf{n}_A\cdot\mathbf{n}_B=0, onde \cdot é o produto escalar. Vou usar essa equivalência porque é prática e direta.
  • Lembrete sobre produto escalar: para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; em particular \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 significa que \mathbf{u} é perpendicular a \mathbf{v}.

Passo 3

Traduzimos as hipóteses nas equações com os normais (isso é só tradução, não é ainda a conclusão).
Como \pi\perp\pi_1 e \pi\perp\pi_2, pelos conceitos do passo anterior temos
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_1=0
e
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_2=0.
Essas duas igualdades dizem: o normal \mathbf{n} é perpendicular a \mathbf{n}_1 e também a \mathbf{n}_2.

Passo 4

Agora descrevemos a reta de interseção \ell=\pi_1\cap\pi_2. Seja \mathbf{v} um vetor diretor de \ell (ou seja, \mathbf{v} aponta ao longo da reta de interseção). Como \ell está contida em \pi_1, qualquer vetor diretor de \ell é um vetor do plano \pi_1 e, por definição de normal, é perpendicular ao normal \mathbf{n}_1. Assim
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_1=0.
Analogamente, como \ell também está contida em \pi_2, temos
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_2=0.
Portanto \mathbf{v} é perpendicular tanto a \mathbf{n}_1 quanto a \mathbf{n}_2.

Passo 5

Agora juntamos as informações: \mathbf{n} é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2 (passo 3); \mathbf{v} também é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2 (passo 4). Vamos interpretar geometricamente o que isso significa.
Os vetores \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 (por serem normais de planos distintos e secantes) são linearmente independentes e geram um plano (ou seja, o subespaço \mathrm{span}\{\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\} é um plano no espaço). O conjunto de vetores perpendiculares a esse plano é um subespaço unidimensional (uma reta através da origem): em 3 dimensões, o complemento ortogonal de um plano é uma reta. Logo, qualquer vetor que seja perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2 pertence a essa mesma reta unidimensional. Em particular, \mathbf{n} e \mathbf{v} pertencem a essa mesma reta; portanto são paralelos: existe \lambda\neq 0 tal que \mathbf{v}=\lambda\mathbf{n}.

Passo 6

Se o vetor diretor \mathbf{v} da reta \ell é paralelo ao vetor normal \mathbf{n} do plano \pi, isso significa exatamente que a reta \ell é perpendicular ao plano \pi. De forma direta: uma reta é perpendicular a um plano se o seu vetor diretor é perpendicular a todo vetor do plano, e isso ocorre quando o vetor diretor é paralelo ao normal do plano. Como mostramos \mathbf{v} é paralelo a \mathbf{n}, concluímos que \ell\perp\pi.

Resposta

\pi\perp(\pi_1\cap\pi_2)

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