Prove que, se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à interseção desses planos.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: se um plano
é perpendicular a dois planos secantes
e
, então
é perpendicular à reta de interseção desses dois planos.
Informações dadas (explicitamente): ,
e
é uma reta (ou seja, os planos
e
são distintos e secantes).
Queremos provar: a reta é perpendicular ao plano
(ou, em símbolo,
).
Informações dadas (explicitamente):
Queremos provar: a reta
Passo 2
Vamos fixar notação e relembrar conceitos que usaremos (devagar e de forma concreta).
- Para cada plano eu escolho um vetor normal:
é um vetor normal ao plano , é normal a e é normal a . Um vetor normal a um plano é um vetor perpendicular a todo vetor que esteja no plano. - Definição útil: um plano
é perpendicular a um plano se e somente se um vetor normal de é perpendicular a um vetor normal de . Em notação: , onde é o produto escalar. Vou usar essa equivalência porque é prática e direta. - Lembrete sobre produto escalar: para vetores
e , , onde é o ângulo entre eles; em particular significa que é perpendicular a .
Passo 3
Traduzimos as hipóteses nas equações com os normais (isso é só tradução, não é ainda a conclusão).
Como e
, pelos conceitos do passo anterior temos
Como
e
Essas duas igualdades dizem: o normal
é perpendicular a
e também a
.
Passo 4
Agora descrevemos a reta de interseção
. Seja
um vetor diretor de
(ou seja,
aponta ao longo da reta de interseção). Como
está contida em
, qualquer vetor diretor de
é um vetor do plano
e, por definição de normal, é perpendicular ao normal
. Assim
Analogamente, como
também está contida em
, temos
Portanto
é perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 5
Agora juntamos as informações:
é perpendicular a
e a
(passo 3);
também é perpendicular a
e a
(passo 4). Vamos interpretar geometricamente o que isso significa.
Os vetores e
(por serem normais de planos distintos e secantes) são linearmente independentes e geram um plano (ou seja, o subespaço
é um plano no espaço). O conjunto de vetores perpendiculares a esse plano é um subespaço unidimensional (uma reta através da origem): em 3 dimensões, o complemento ortogonal de um plano é uma reta. Logo, qualquer vetor que seja perpendicular a
e a
pertence a essa mesma reta unidimensional. Em particular,
e
pertencem a essa mesma reta; portanto são paralelos: existe
tal que
.
Os vetores
Passo 6
Se o vetor diretor
da reta
é paralelo ao vetor normal
do plano
, isso significa exatamente que a reta
é perpendicular ao plano
. De forma direta: uma reta é perpendicular a um plano se o seu vetor diretor é perpendicular a todo vetor do plano, e isso ocorre quando o vetor diretor é paralelo ao normal do plano. Como mostramos
é paralelo a
, concluímos que
.