Prove que, por uma reta
não perpendicular a um plano
, existe um único plano
perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma reta
que não é perpendicular a um plano
, existe exatamente um plano
que seja perpendicular a
e que contenha a reta
.\n
Informações fornecidas:
- Há uma reta
.\n
- Há um plano
.\n
- Está explícito que
NÃO é perpendicular a
(ou seja,
não está na direção do eixo normal de
).\n
O que se pede: demonstrar existência e unicidade de um plano tal que (i)
e (ii)
é perpendicular a
.\n
Informações fornecidas:
O que se pede: demonstrar existência e unicidade de um plano
Passo 2
Vamos primeiro fixar uma definição clara e uma ferramenta básica que usaremos várias vezes.\n
Definição (usada aqui): dizemos que um plano é perpendicular a um plano
quando
contém uma reta que é perpendicular a
. Em outras palavras, basta que exista uma reta
tal que
.\n
Fato básico que precisamos (e vamos justificar): para qualquer plano e qualquer ponto
(seja
pertencente a
ou não), existe uma única reta passando por
que é perpendicular a
. Vou provar esse fato agora de forma elementar e didática.\n
Definição (usada aqui): dizemos que um plano
Fato básico que precisamos (e vamos justificar): para qualquer plano
Passo 3
Prova do fato: existência e unicidade da perpendicular a um plano por um ponto fixo
.\n
Escolha um ponto arbitrário e tome dois pontos distintos
e
em
(existe ao menos uma reta e portanto pontos em
). As retas
e
determinam dois planos distintos (ou, se
, esses planos coincidem com planos que contêm
localmente) que cortam
ao longo das retas
e
(mais informalmente: considere os planos
e
determinados por
e cada uma das retas de
que passam por
e por
).\n
Em cada um desses planos e
, podemos traçar a única reta que passa por
e é perpendicular, naquele plano, à respectiva reta de
. Chamemos essas retas de
(perpendicular a uma reta de
em
) e
(análoga em
).\n
Observe que é perpendicular a todas as retas de
que passam por
(pois é perpendicular a duas direções independentes contidas em
— formalmente: se uma reta é perpendicular a duas retas não colineares de um plano que se cruzam num ponto, então ela é perpendicular a todo o plano). O mesmo vale para
. Como ambas são retas que passam por
e são perpendiculares ao mesmo plano
, elas coincidem:
. Isso mostra unicidade.\n
A existência ficou clara porque construímos explicitamente e
nos planos
e
e verificamos que realmente fazem o papel de "perpendicular a
por
". Portanto, para cada ponto
existe exatamente uma reta
com
e
.\n
Escolha um ponto
Em cada um desses planos
Observe que
A existência ficou clara porque construímos explicitamente
Passo 4
Agora aplicamos o fato ao problema: escolha um ponto
qualquer sobre a reta
(existe porque
não é vazia). Pelo passo anterior existe uma única reta
que passa por
e é perpendicular a
. Note dois casos particulares, mas que a construção trata uniformemente:\n
- Se
(ou seja,
intersecta
em
), a reta
é a normal ao plano
em
.\n
- Se
(ou seja,
é paralela a
ou simplesmente não toca
), a reta
é a perpendicular por
que encontra
no pé da perpendicular.\n
Em qualquer dos casos, existe e é única. Como
não é perpendicular a
, a reta
é diferente de
(portanto
e
não são colineares). Duas retas distintas
e
determinam um plano único; chame esse plano de
. Logo
e
.\n
Pelo que definimos acima, como contém a reta
que é perpendicular a
, segue que
é perpendicular a
. Assim temos a existência de pelo menos um plano
que contém
e é perpendicular a
.\n
Em qualquer dos casos,
Pelo que definimos acima, como
Passo 5
Prova da unicidade do plano
.\n
Suponha que exista outro plano tal que
e
. Pelo fato que usamos antes, a reta perpendicular a
passando por
é única; chamemos essa reta de
. Como
é perpendicular a
,
contém alguma reta perpendicular a
. Essa reta, passando por
(pois
), tem de ser exatamente
pela unicidade da perpendicular por
. Então
contém tanto
quanto
. Mas o plano determinado por
e
é único, e já o chamamos de
. Logo
.\n
Portanto não pode haver outro plano diferente de com as propriedades pedidas; a escolha é única.\n
Suponha que exista outro plano
Portanto não pode haver outro plano diferente de
Resposta
Existe um único plano
tal que
e
.