Prove que, por uma reta r não perpendicular a um plano \alpha, existe um único plano \beta perpendicular a \alpha.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma reta r que não é perpendicular a um plano \alpha, existe exatamente um plano \beta que seja perpendicular a \alpha e que contenha a reta r.\n
Informações fornecidas:
\; - Há uma reta r.\n
\; - Há um plano \alpha.\n
\; - Está explícito que r NÃO é perpendicular a \alpha (ou seja, r não está na direção do eixo normal de \alpha).\n
O que se pede: demonstrar existência e unicidade de um plano \beta tal que (i) r\subset\beta e (ii) \beta é perpendicular a \alpha.\n

Passo 2

Vamos primeiro fixar uma definição clara e uma ferramenta básica que usaremos várias vezes.\n
Definição (usada aqui): dizemos que um plano \beta é perpendicular a um plano \alpha quando \beta contém uma reta que é perpendicular a \alpha. Em outras palavras, basta que exista uma reta l\subset\beta tal que l\perp\alpha.\n
Fato básico que precisamos (e vamos justificar): para qualquer plano \alpha e qualquer ponto P (seja P pertencente a \alpha ou não), existe uma única reta passando por P que é perpendicular a \alpha. Vou provar esse fato agora de forma elementar e didática.\n

Passo 3

Prova do fato: existência e unicidade da perpendicular a um plano por um ponto fixo P.\n
Escolha um ponto P arbitrário e tome dois pontos distintos A e B em \alpha (existe ao menos uma reta e portanto pontos em \alpha). As retas s_1=PA e s_2=PB determinam dois planos distintos (ou, se P\in\alpha, esses planos coincidem com planos que contêm \alpha localmente) que cortam \alpha ao longo das retas AA e BB (mais informalmente: considere os planos \pi_1 e \pi_2 determinados por P e cada uma das retas de \alpha que passam por A e por B).\n
Em cada um desses planos \pi_1 e \pi_2, podemos traçar a única reta que passa por P e é perpendicular, naquele plano, à respectiva reta de \alpha. Chamemos essas retas de l_1 (perpendicular a uma reta de \alpha em \pi_1) e l_2 (análoga em \pi_2).\n
Observe que l_1 é perpendicular a todas as retas de \alpha que passam por A (pois é perpendicular a duas direções independentes contidas em \alpha — formalmente: se uma reta é perpendicular a duas retas não colineares de um plano que se cruzam num ponto, então ela é perpendicular a todo o plano). O mesmo vale para l_2. Como ambas são retas que passam por P e são perpendiculares ao mesmo plano \alpha, elas coincidem: l_1=l_2. Isso mostra unicidade.\n
A existência ficou clara porque construímos explicitamente l_1 e l_2 nos planos \pi_1 e \pi_2 e verificamos que realmente fazem o papel de "perpendicular a \alpha por P". Portanto, para cada ponto P existe exatamente uma reta l_P com P\in l_P e l_P\perp\alpha.\n

Passo 4

Agora aplicamos o fato ao problema: escolha um ponto P qualquer sobre a reta r (existe porque r não é vazia). Pelo passo anterior existe uma única reta l que passa por P e é perpendicular a \alpha. Note dois casos particulares, mas que a construção trata uniformemente:\n
\; - Se P\in\alpha (ou seja, r intersecta \alpha em P), a reta l é a normal ao plano \alpha em P.\n
\; - Se P\notin\alpha (ou seja, r é paralela a \alpha ou simplesmente não toca \alpha), a reta l é a perpendicular por P que encontra \alpha no pé da perpendicular.\n
Em qualquer dos casos, l existe e é única. Como r não é perpendicular a \alpha, a reta l é diferente de r (portanto r e l não são colineares). Duas retas distintas r e l determinam um plano único; chame esse plano de \beta. Logo r\subset\beta e l\subset\beta.\n
Pelo que definimos acima, como \beta contém a reta l que é perpendicular a \alpha, segue que \beta é perpendicular a \alpha. Assim temos a existência de pelo menos um plano \beta que contém r e é perpendicular a \alpha.\n

Passo 5

Prova da unicidade do plano \beta.\n
Suponha que exista outro plano \beta' tal que r\subset\beta' e \beta'\perp\alpha. Pelo fato que usamos antes, a reta perpendicular a \alpha passando por P é única; chamemos essa reta de l. Como \beta' é perpendicular a \alpha, \beta' contém alguma reta perpendicular a \alpha. Essa reta, passando por P (pois P\in r\subset\beta'), tem de ser exatamente l pela unicidade da perpendicular por P. Então \beta' contém tanto r quanto l. Mas o plano determinado por r e l é único, e já o chamamos de \beta. Logo \beta'=\beta.\n
Portanto não pode haver outro plano diferente de \beta com as propriedades pedidas; a escolha é única.\n

Resposta

Existe um único plano \beta tal que r\subset\beta e \beta\perp\alpha.

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