Prove que, se uma reta
e um plano
são paralelos, todo plano
perpendicular à reta
também é perpendicular ao plano
.
Passo 1
Dados do enunciado:
- Uma reta
e um plano são paralelos (isto é, ). - Um plano
é perpendicular à reta (isto é, ).
O que devemos provar:
- Mostrar que o plano
também é perpendicular ao plano (ou seja, provar ).
Passo 2
Introduzo um vetor diretor
da reta
. Explico o que isso significa:
é um vetor que indica a direção e o sentido de
. Sempre que eu falar que um vetor é “paralelo” a um plano, quero dizer que existe um vetor contido no plano que é colinear com esse vetor.
Passo 3
Interpreto a condição
. Por definição (vetorial), se um plano
é perpendicular a uma reta
, então a direção da reta
é perpendicular a todo vetor tangente ao plano
. Em termos de vetores: o vetor
é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido em
; portanto
é um vetor normal ao plano
. Vou chamar esse fato de:
é normal a
.
Comentário didático rápido: “vetor normal a um plano” significa um vetor que forma ângulo reto com qualquer vetor que esteja dentro desse plano. É a maneira vetorial de dizer que algo é perpendicular ao plano.
Passo 4
Interpreto a condição
. Isso significa que a direção de
, isto é
, é paralela ao plano
. Em termos práticos: existe uma reta
contida em
cuja direção é colinear com
. Em linguagem de vetores: existe um vetor
contido em
tal que
é colinear com
(ou seja,
para algum
).
Passo 5
Combino os dois fatos:
- De - De Logo
, sendo colinear com , também é normal a . Em palavras: o plano contém um vetor (logo contém uma reta na direção desse vetor) que é perpendicular ao plano .
Passo 6
Uso a definição de “planos perpendiculares”: dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano. Como acabei de mostrar,
contém uma reta (aquela com direção
) que é perpendicular ao plano
. Portanto, pela definição,
.
Comentário de incentivo: vimos que tudo se resume a seguir as direções — o vetor-diretor de
vira normal de
e ao mesmo tempo está paralelo a
; daí dá pra concluir direto. Não é tão assustador quando quebramos em vetores.