Prove que, se uma reta a e um plano \alpha são paralelos, todo plano \beta perpendicular à reta a também é perpendicular ao plano \alpha.

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Uma reta a e um plano \alpha são paralelos (isto é, a \parallel \alpha).
  • Um plano \beta é perpendicular à reta a (isto é, \beta \perp a).
O que devemos provar:
  • Mostrar que o plano \beta também é perpendicular ao plano \alpha (ou seja, provar \beta \perp \alpha).

Passo 2

Introduzo um vetor diretor \vec{u} da reta a. Explico o que isso significa: \vec{u} é um vetor que indica a direção e o sentido de a. Sempre que eu falar que um vetor é “paralelo” a um plano, quero dizer que existe um vetor contido no plano que é colinear com esse vetor.

Passo 3

Interpreto a condição \beta \perp a. Por definição (vetorial), se um plano \beta é perpendicular a uma reta a, então a direção da reta a é perpendicular a todo vetor tangente ao plano \beta. Em termos de vetores: o vetor \vec{u} é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido em \beta; portanto \vec{u} é um vetor normal ao plano \beta. Vou chamar esse fato de: \vec{u} é normal a \beta.
Comentário didático rápido: “vetor normal a um plano” significa um vetor que forma ângulo reto com qualquer vetor que esteja dentro desse plano. É a maneira vetorial de dizer que algo é perpendicular ao plano.

Passo 4

Interpreto a condição a \parallel \alpha. Isso significa que a direção de a, isto é \vec{u}, é paralela ao plano \alpha. Em termos práticos: existe uma reta r contida em \alpha cuja direção é colinear com \vec{u}. Em linguagem de vetores: existe um vetor \vec{v} contido em \alpha tal que \vec{v} é colinear com \vec{u} (ou seja, \vec{v} = \lambda \vec{u} para algum \lambda \neq 0).

Passo 5

Combino os dois fatos:
  • De - De Logo \vec{v}, sendo colinear com \vec{u}, também é normal a \beta. Em palavras: o plano \alpha contém um vetor (logo contém uma reta na direção desse vetor) que é perpendicular ao plano \beta.

Passo 6

Uso a definição de “planos perpendiculares”: dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano. Como acabei de mostrar, \alpha contém uma reta (aquela com direção \vec{v}) que é perpendicular ao plano \beta. Portanto, pela definição, \alpha \perp \beta.
Comentário de incentivo: vimos que tudo se resume a seguir as direções — o vetor-diretor de a vira normal de \beta e ao mesmo tempo está paralelo a \alpha; daí dá pra concluir direto. Não é tão assustador quando quebramos em vetores.

Resposta

\beta \perp \alpha

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