Prove que, se duas retas formam ângulo reto, uma delas é paralela ou está contida no plano de projeção e a outra não é perpendicular a esse plano, então as projeções ortogonais das retas sobre o plano são perpendiculares.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
- Temos um plano de projeção
. - Temos duas retas no espaço, chamadas de
e . - Sabemos que
e são perpendiculares: . - Sabemos também que uma dessas retas (vou chamar de
) ou está contida em ( ) ou é paralela a ( ). - A outra reta (
) não é perpendicular a (isto garante que a projeção ortogonal de em é uma reta, não um ponto). - O que devemos provar: as projeções ortogonais de
e sobre são perpendiculares (isto é, as imagens de e por projeção ortogonal em formam um ângulo reto).
Passo 2
Definições e ideia básica que vamos usar (explicada devagar e com intuição).
- Projeção ortogonal de um ponto
sobre : é o ponto tal que a reta é perpendicular a . Geometricamente, “descer” perpendicularmente até o plano. - Projeção ortogonal de uma reta: é a imagem do conjunto de todos os pontos da reta. Se a reta está contida em
, sua projeção é ela mesma. Se a reta é paralela a , sua projeção é uma reta paralela a ela, contida em . Se a reta é oblíqua (nem perpendicular nem contida nem paralela), sua projeção é uma reta em . Se a reta for perpendicular a , sua projeção degeneraria num ponto — por isso o enunciado exige que não seja perpendicular a . - Vamos trabalhar com vetores direção das retas. Para uma reta
tomamos um vetor que indique sua direção. Dois vetores e são perpendiculares quando o produto escalar . Vou explicar o produto escalar no próximo passo.
Passo 3
Produto escalar e decomposição ortogonal — conceito que vamos usar como ferramenta.
- Produto escalar: para vetores
e em o produto escalar é
onde
é o ângulo entre
e
. Importante:
é perpendicular a
se, e só se,
.
- Se
é um vetor normal unitário ao plano (ou seja, e é perpendicular a todo vetor que esteja em ), então qualquer vetor pode ser escrito como soma de duas componentes:
onde
é paralelo a
(a componente perpendicular ao plano) e
é perpendicular a
(a componente dentro do plano). A componente perpendicular é dada por
e a componente paralela ao plano é
Intuição: você tira de
o pedaço que “aponta para cima/baixo” (paralelo a
), o resto fica no plano.
Passo 4
Escolher vetores direção e escrever a projeção de uma direção sobre o plano.
- Tome um vetor direção
de e um vetor direção de . Como , temos
- Seja
um vetor normal unitário a (ou seja, e é perpendicular a todo vetor contido em ). - A projeção ortogonal da direção
de sobre é o vetor
conforme explicado antes. Esse
é precisamente um vetor direção da projeção
de
sobre
(lembre: estamos no caso em que
não é perpendicular a
, logo
não é o vetor zero).
Passo 5
Usar que
está em (ou é paralelo a)
para relacionar
com
.
- Se
está contida em ou é paralela a , então o vetor direção está contido em . Portanto é perpendicular a , ou seja
Passo 6
Calcular o produto escalar entre
e a projeção
e concluir a perpendicularidade.
- Compute:
- Como vimos,
. Então o segundo termo some e ficamos com
- Mas pelo dado inicial
temos . Então
- Conclusão: o vetor direção
(da projeção de , que é ou paralelo a ) é perpendicular ao vetor direção (da projeção ). Então as retas projetadas e são perpendiculares em .
Passo 7
Observações finais e verificação das hipóteses.
- A hipótese de que
não é perpendicular a foi essencial para garantir que , isto é, que a projeção de é realmente uma reta (caso contrário a projeção de seria um ponto e não faria sentido falar em “retas perpendiculares”). - Se
está contida em a mesma demonstração vale, pois então a projeção de é ela mesma; se a projeção de é uma reta em com direção . Em ambos os subcasos usamos .
Resposta
As projeções ortogonais de
e
sobre
são perpendiculares.