Prove que, se duas retas formam ângulo reto, uma delas é paralela ou está contida no plano de projeção e a outra não é perpendicular a esse plano, então as projeções ortogonais das retas sobre o plano são perpendiculares.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • Temos um plano de projeção \Pi.
  • Temos duas retas no espaço, chamadas de a e b.
  • Sabemos que a e b são perpendiculares: \;a\perp b.
  • Sabemos também que uma dessas retas (vou chamar de a) ou está contida em \Pi ( a\subset\Pi) ou é paralela a \Pi ( a\parallel\Pi).
  • A outra reta ( b) não é perpendicular a \Pi (isto garante que a projeção ortogonal de b em \Pi é uma reta, não um ponto).
  • O que devemos provar: as projeções ortogonais de a e b sobre \Pi são perpendiculares (isto é, as imagens de a e b por projeção ortogonal em \Pi formam um ângulo reto).

Passo 2

Definições e ideia básica que vamos usar (explicada devagar e com intuição).
  • Projeção ortogonal de um ponto X sobre \Pi: é o ponto X'\in\Pi tal que a reta XX' é perpendicular a \Pi. Geometricamente, “descer” X perpendicularmente até o plano.
  • Projeção ortogonal de uma reta: é a imagem do conjunto de todos os pontos da reta. Se a reta está contida em \Pi, sua projeção é ela mesma. Se a reta é paralela a \Pi, sua projeção é uma reta paralela a ela, contida em \Pi. Se a reta é oblíqua (nem perpendicular nem contida nem paralela), sua projeção é uma reta em \Pi. Se a reta for perpendicular a \Pi, sua projeção degeneraria num ponto — por isso o enunciado exige que b não seja perpendicular a \Pi.
  • Vamos trabalhar com vetores direção das retas. Para uma reta r tomamos um vetor w que indique sua direção. Dois vetores w_1 e w_2 são perpendiculares quando o produto escalar w_1\cdot w_2=0. Vou explicar o produto escalar no próximo passo.

Passo 3

Produto escalar e decomposição ortogonal — conceito que vamos usar como ferramenta.
  • Produto escalar: para vetores \,u e \,v em \mathbb{R}^3 o produto escalar é
u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \,u e \,v. Importante: u é perpendicular a v se, e só se, u\cdot v=0.
  • Se \,n é um vetor normal unitário ao plano \Pi (ou seja, \|n\|=1 e n é perpendicular a todo vetor que esteja em \Pi), então qualquer vetor v pode ser escrito como soma de duas componentes:
v = v_{\parallel} + v_{\perp},
onde v_{\perp} é paralelo a n (a componente perpendicular ao plano) e v_{\parallel} é perpendicular a n (a componente dentro do plano). A componente perpendicular é dada por
v_{\perp}=(v\cdot n)\,n
e a componente paralela ao plano é
v_{\parallel}=v-(v\cdot n)\,n.
Intuição: você tira de v o pedaço que “aponta para cima/baixo” (paralelo a n), o resto fica no plano.

Passo 4

Escolher vetores direção e escrever a projeção de uma direção sobre o plano.
  • Tome um vetor direção u de a e um vetor direção v de b. Como a\perp b, temos
u\cdot v = 0.
  • Seja n um vetor normal unitário a \Pi (ou seja, \|n\|=1 e n é perpendicular a todo vetor contido em \Pi).
  • A projeção ortogonal da direção v de b sobre \Pi é o vetor
v_{\parallel}=v-(v\cdot n)\,n,
conforme explicado antes. Esse v_{\parallel} é precisamente um vetor direção da projeção b' de b sobre \Pi (lembre: estamos no caso em que b não é perpendicular a \Pi, logo v_{\parallel} não é o vetor zero).

Passo 5

Usar que a está em (ou é paralelo a) \Pi para relacionar u com n.
  • Se a está contida em \Pi ou é paralela a \Pi, então o vetor direção u está contido em \Pi. Portanto u é perpendicular a n, ou seja
u\cdot n = 0.

Passo 6

Calcular o produto escalar entre u e a projeção v_{\parallel} e concluir a perpendicularidade.
  • Compute:
u\cdot v_{\parallel}=u\cdot\bigl(v-(v\cdot n)\,n\bigr)=u\cdot v-(v\cdot n)(u\cdot n).
  • Como vimos, u\cdot n=0. Então o segundo termo some e ficamos com
u\cdot v_{\parallel}=u\cdot v.
  • Mas pelo dado inicial a\perp b temos u\cdot v=0. Então
u\cdot v_{\parallel}=0.
  • Conclusão: o vetor direção u (da projeção a' de a, que é u ou paralelo a u) é perpendicular ao vetor direção v_{\parallel} (da projeção b'). Então as retas projetadas a' e b' são perpendiculares em \Pi.

Passo 7

Observações finais e verificação das hipóteses.
  • A hipótese de que b não é perpendicular a \Pi foi essencial para garantir que v_{\parallel}\neq 0, isto é, que a projeção de b é realmente uma reta (caso contrário a projeção de b seria um ponto e não faria sentido falar em “retas perpendiculares”).
  • Se a está contida em \Pi a mesma demonstração vale, pois então a projeção de a é ela mesma; se a\parallel\Pi a projeção de a é uma reta em \Pi com direção u. Em ambos os subcasos usamos u\cdot n=0.

Resposta

As projeções ortogonais de a e b sobre \Pi são perpendiculares.

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