Exercício 29. Dadas duas funções a: R longrightarrow R e h: R longrightarrow R de classe C^1, considere a equação diferencial parcial uy+a(u) ux=0 com condição inicial u(x, 0)=h(x). Mostre que, localmente numa vizinhança de cada ( x, 0 ), existe uma solução u=u(x, y) definida implicitamente por u= h(x-a(u) y).

Passo 1

O enunciado apresenta a PDE quasilinear de primeira ordem
uy + a(u),ux = 0
com condição inicial u(x,0)=h(x). Para resolver, vamos usar o método das características e depois garantir existência local via teorema da função implícita.

Passo 2

No método das características escrevemos o sistema de ODEs
dxds = a(u), dyds = 1, duds = 0,
onde s parametriza as curvas características.

Passo 3

Da terceira equação vem que u(s) é constante, digamos u(s)=c. Integrando tfracdyds=1 obtemos y=s+const; escolhemos s=y. Então a primeira equação dá
x = xi + a(c),y,
onde xi é a abscissa inicial na reta y=0.

Passo 4

Na condição inicial temos xi = xl|y=0 e u(xi,0)=h(xi), logo c = h(xi). Substituindo em x = xi + a(c),y resulta
x = xi + al(h(xi)r),y

Passo 5

Como u=c=h(xi) e xi = x - a(u),y, segue a representação implícita da solução:
u = hl(x - a(u),yr)

Passo 6

Definindo
F(x,y,u) = u - hl(x - a(u),yr),
vemos que F é C^1 e
partial Fpartial u|y=0,u=h(x) = 1 neq 0
Pelo teorema da função implícita, existe então uma função u(x,y) C^1 que satisfaz F(x,y,u(x,y))=0 numa vizinhança de cada (x,0).

Resposta

A solução local de uy + a(u)ux = 0 com u(x,0)=h(x) é dada implicitamente por
u = hl(x - a(u),yr)

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