Exercício 29. Dadas duas funções e de classe , considere a equação diferencial parcial com condição inicial . Mostre que, localmente numa vizinhança de cada ( ), existe uma solução definida implicitamente por .
Passo 1
O enunciado apresenta a PDE quasilinear de primeira ordem
com condição inicial . Para resolver, vamos usar o método das características e depois garantir existência local via teorema da função implícita.
Passo 2
No método das características escrevemos o sistema de ODEs
onde parametriza as curvas características.
Passo 3
Da terceira equação vem que é constante, digamos . Integrando obtemos ; escolhemos . Então a primeira equação dá
onde é a abscissa inicial na reta .
Passo 4
Na condição inicial temos e u(xi,0)=h(xi), logo c = h(xi). Substituindo em x = xi + a(c),y resulta
x = xi + al(h(xi)r),y
Passo 5
Como u=c=h(xi) e xi = x - a(u),y, segue a representação implícita da solução:
u = hl(x - a(u),yr)
Passo 6
Definindo
F(x,y,u) = u - hl(x - a(u),yr),
vemos que F é C^1 e
partial Fpartial u|y=0,u=h(x) = 1 neq 0
Pelo teorema da função implícita, existe então uma função u(x,y)C^1 que satisfaz F(x,y,u(x,y))=0 numa vizinhança de cada (x,0).
Resposta
A solução local de uy + a(u)ux = 0 com u(x,0)=h(x) é dada implicitamente por