Prove que os polinômios a seguir são L.I.
p(x)=x^{3}-5 x^{2}+1, q(x)=2 x^{4}+5 x-6, r(x)=x^{2}-5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
p(x)=x^{3}-5x^{2}+1,\quad q(x)=2x^{4}+5x-6,\quad r(x)=x^{2}-5x+2
são linearmente independentes (L.I.).
O conceito que vamos usar é: se existir uma combinação linear
\alpha\,p(x)+\beta\,q(x)+\gamma\,r(x)\;=\;0
para todo x, então os coeficientes \alpha,\beta,\gamma devem ser todos nulos.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e somamos termos semelhantes:
\alpha\bigl(x^{3}-5x^{2}+1\bigr) +\beta\bigl(2x^{4}+5x-6\bigr) +\gamma\bigl(x^{2}-5x+2\bigr) \;=\;0.
Isso deve valer para todo x, ou seja, o polinômio resultante é o polinômio zero.

Passo 3

Compare o coeficiente de x^{4}. Apenas \beta\,q(x) contribui com termo em x^{4}:
2\,\beta \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 0.

Passo 4

Com \beta=0, restam os termos de grau até 3 vindos de \alpha\,p(x) e \gamma\,r(x). Compare o coeficiente de x^{3}. Só \alpha\,p(x) tem x^{3}:
\alpha \;=\;0.

Passo 5

Agora compare o coeficiente de x^{2}. Da combinação sobram
-5\,\alpha \;+\;\gamma \;=\;0.
Como \alpha=0, segue
\gamma = 0.

Passo 6

Chegamos a
\alpha = 0,\quad \beta = 0,\quad \gamma = 0.
Isso mostra que a única combinação linear que anula p,q,r é a trivial.

Resposta

Os polinômios p(x), q(x) e r(x) são linearmente independentes.

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