Prove que os polinômios a seguir são L.I.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os polinômios
são linearmente independentes (L.I.).
O conceito que vamos usar é: se existir uma combinação linear
O conceito que vamos usar é: se existir uma combinação linear
para todo
, então os coeficientes
devem ser todos nulos.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear e somamos termos semelhantes:
Isso deve valer para todo
, ou seja, o polinômio resultante é o polinômio zero.
Passo 3
Compare o coeficiente de
. Apenas
contribui com termo em
:
Passo 4
Com
, restam os termos de grau até 3 vindos de
e
. Compare o coeficiente de
. Só
tem
:
Passo 5
Agora compare o coeficiente de
. Da combinação sobram
Como
, segue
Passo 6
Chegamos a
Isso mostra que a única combinação linear que anula
é a trivial.
Resposta
Os polinômios
,
e
são linearmente independentes.