Considere o sistema a seguir, onde a, b \in \mathbb{R}.
\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y-4 z=1 \\\\ 3 x+4 y+3 z=b \\\\ 5 x+7 y+a z=8 \end{array}\right.
Determine os valores de a e b para que o sistema seja (I) possível e indeterminado

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+3y-4z=1,\\\\ 3x+4y+3z=b,\\\\ 5x+7y+az=8, \end{cases}
com parâmetros a,b\in\mathbb{R}. O objetivo é encontrar a e b de modo que o sistema seja possível e indeterminado, isto é, tenha infinitas soluções. Vamos usar a condição de singularidade da matriz dos coeficientes (determinante nulo) e a consistência do sistema estendido.

Passo 2

Construímos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4\\\\ 3 & 4 & 3\\\\ 5 & 7 & a \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por regra de Sarrus ou expansão de Laplace. Por exemplo, expandindo pela primeira linha:
\det(A) =2\,(4\cdot a - 3\cdot7)\;-\;3\,(3\cdot a - 3\cdot5)\;-\;4\,(3\cdot7 - 4\cdot5).

Passo 3

Desenvolvendo, temos
\det(A) =2\,(4a -21)-3\,(3a -15)-4\,(21 -20) =8a -42 -9a +45 -4 =-a -1.
Para o sistema ser indeterminado, queremos \det(A)=0, logo
-a -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Passo 4

Com a=-1, a terceira equação torna-se
5x+7y - z = 8.
Para o sistema ser consistente e ter posto igual ao posto ampliado (ambos iguais a 2), essa terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras. Suponha
5x+7y - z =\alpha\,(2x+3y-4z) +\beta\,(3x+4y+3z).

Passo 5

Comparando coeficientes de x,y,z\) obtemos o sistema em \(\alpha,\beta\): \[\begin{cases} 2\alpha +3\beta =5,\\\\ 3\alpha +4\beta =7,\\\\ -4\alpha +3\beta = -1. \end{cases}
Das duas primeiras equações resulta \alpha=1\] e \(\beta=1, e a terceira é então satisfeita automaticamente.

Passo 6

Para a combinação valer também nos termos constantes, impomos
1\cdot1 + 1\cdot b = 8 \quad\Longrightarrow\quad b = 7.

Resposta

a=-1 e b=7 tornam o sistema possível e indeterminado.

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