(Questão 01) [4,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
(F) Se (u, v, w) é base, então (u+v, w, u+v+w) é também base;
(F) (u, v, w) LD, então u / / v / / w.
(F) Se E e F são bases, det(ME F) neq 0;
(F) Dados os pontos A, B, C e D, se |A B|=|C D| então |A C|=|B D|.
(v) u cdot u=|u|;
(v) w / / v Rightarrow projv w=w;
(v) Se (u, v) é LI, então u cdot v neq 0;
(v) u perp v Longrightarrow projv u=0 ext ;

Passo 1

O enunciado apresenta oito afirmações sobre vetores em espaços vetoriais: as quatro primeiras envolvem bases, dependência linear, determinantes e comprimentos de segmentos, e as quatro últimas tratam de produto escalar e projeção. Nosso objetivo é marcar cada afirmação com V (verdadeira) ou F (falsa).

Passo 2

Para as afirmações 1 e 3, usamos que três vetores formam base em um espaço de dimensão 3 se, e somente se, a matriz de transformação entre bases for invertível (determinante não nulo).
Na afirmação 1, definimos a mudança de base de (vec u,vec v,vec w) para (vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec w) pela matriz
M= 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
que satisfaz (vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec w)=[vec u,vec v,vec w],M. Calculando
det(M)=1cdot0&11&1 -0+;1cdot1&00&1 =-1+1=0,
logo os três vetores são LD e não formam base. A afirmação 1 é F.
Na afirmação 3, a matriz de mudança de base entre duas bases quaisquer é sempre invertível, o que implica det(MEF)neq0. Portanto a afirmação 3 é V.

Passo 3

Na afirmação 2 diz-se que, se (vec u,vec v,vec w) é LD, então todos são paralelos. Isso é falso, pois podemos ter por exemplo vec w=vec u+vec v em R^2, tornando o trio LD sem que vec u seja paralelo a vec v. Logo a afirmação 2 é F.

Passo 4

A afirmação 4 supõe que |AB|=|CD| implica |AC|=|BD|. Considere em R^2
A=(0,0), B=(1,0), C=(0,0), D=(-1,0).
Então |AB|=1 e |CD|=1, mas
|AC|=0neq2=|BD|.
Logo a afirmação 4 é F.

Passo 5

As afirmações 5 e 7 envolvem produto escalar:
– Afirmar que vec ucdotvec u=|vec u| ignora que, na verdade,
vec ucdotvec u=|vec u|^2neq|vec u|
(exceto em vetores unitários). Logo 5 é F.
– Afirmar que vetores LI têm vec ucdotvec vneq0 falha porque vetores ortogonais são LI e satisfazem vec ucdotvec v=0. Logo 7 é F.

Passo 6

As afirmações 6 e 8 tratam de projeção:
– Se vec wparal<=lvec v, então existe lambda tal que vec w=lambdavec v. A projeção é
projvec vvec w =vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =lambda(vec vcdotvec v)vec vcdotvec v,vec v =lambdavec v =vec w
Logo a afirmação 6 é V.
– Se vec uperpvec v, então vec ucdotvec v=0 e
projvec vvec u =vec ucdotvec vvec vcdotvec v,vec v =vec 0
Logo a afirmação 8 é V.

Resposta

  1. F
  2. F
  3. V
  4. F
  5. F
  6. V
  7. F
  8. V

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