(Questão 01) [4,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
(F) Se é base, então é também base;
(F) LD, então .
(F) Se e são bases, ;
(F) Dados os pontos e , se então |A C|=|B D|.
(v) u cdot u=|u|;
(v) w / / v Rightarrow projv w=w;
(v) Se (u, v) é LI, então u cdot v neq 0;
(v) u perp v Longrightarrow projv u=0 ext ;
Passo 1
O enunciado apresenta oito afirmações sobre vetores em espaços vetoriais: as quatro primeiras envolvem bases, dependência linear, determinantes e comprimentos de segmentos, e as quatro últimas tratam de produto escalar e projeção. Nosso objetivo é marcar cada afirmação com V (verdadeira) ou F (falsa).
Passo 2
Para as afirmações 1 e 3, usamos que três vetores formam base em um espaço de dimensão 3 se, e somente se, a matriz de transformação entre bases for invertível (determinante não nulo).
Na afirmação 1, definimos a mudança de base de (vec u,vec v,vec w) para (vec u+vec v,vec w,vec u+vec v+vec w) pela matriz
logo os três vetores são LD e não formam base. A afirmação 1 é F.
Na afirmação 3, a matriz de mudança de base entre duas bases quaisquer é sempre invertível, o que implica det(MEF)neq0. Portanto a afirmação 3 é V.
Passo 3
Na afirmação 2 diz-se que, se (vec u,vec v,vec w) é LD, então todos são paralelos. Isso é falso, pois podemos ter por exemplo vec w=vec u+vec v em R^2, tornando o trio LD sem que vec u seja paralelo a vec v. Logo a afirmação 2 é F.
Passo 4
A afirmação 4 supõe que |AB|=|CD| implica |AC|=|BD|. Considere em R^2 A=(0,0), B=(1,0), C=(0,0), D=(-1,0).
Então |AB|=1 e |CD|=1, mas |AC|=0neq2=|BD|.
Logo a afirmação 4 é F.
Passo 5
As afirmações 5 e 7 envolvem produto escalar:
– Afirmar que vec ucdotvec u=|vec u| ignora que, na verdade,
vec ucdotvec u=|vec u|^2neq|vec u|
(exceto em vetores unitários). Logo 5 é F.
– Afirmar que vetores LI têm vec ucdotvec vneq0 falha porque vetores ortogonais são LI e satisfazem vec ucdotvec v=0. Logo 7 é F.
Passo 6
As afirmações 6 e 8 tratam de projeção:
– Se vec wparal<=lvec v, então existe lambda tal que vec w=lambdavec v. A projeção é
projvec vvec w =vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =lambda(vec vcdotvec v)vec vcdotvec v,vec v =lambdavec v =vec w
Logo a afirmação 6 é V.
– Se vec uperpvec v, então vec ucdotvec v=0 e
projvec vvec u =vec ucdotvec vvec vcdotvec v,vec v =vec 0