Prove a propriedade associativa da soma de vetores no espaço, usando a definição sem coordenadas. Isto é, prove que (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).(Dica: Tome representantes \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, e \vec{w}=\overrightarrow{C D}. Então calcule as quantidades envolvidas verificando que são iguais.)
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
O objetivo é provar, sem usar coordenadas, que a soma de vetores no espaço é associativa, ou seja mostrar que
Não se resolve nada ainda; apenas ficou claro o que é pedido e quais dados serão usados (os representantes \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}).
Passo 2
Lembrando a definição geométrica de soma de vetores (sem coordenadas).
Um vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados: dois segmentos orientados são representantes do mesmo vetor se têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento; geometricamente isso equivale a poder traduzir um segmento paralelamente para coincidir com o outro.
A soma de dois vetores é definida geometricamente da seguinte maneira: se se tem dois segmentos orientados que formam uma cadeia, isto é, o fim do primeiro é o início do segundo, então a soma é o segmento orientado do início do primeiro ao fim do segundo. Em símbolos: se temos segmentos \overrightarrow{XY} e \overrightarrow{YZ}, então a definição natural da soma é
Essa operação é bem definida porque vetores podem ser transportados por tradução: se um dos segmentos for substituído por outro representante do mesmo vetor, pode-se traduzir de modo a manter a cadeia e o segmento resultante representará o mesmo vetor soma.
Passo 3
Aplicando a definição ao par \vec{u}+\vec{v}.
Como dado, \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{BC}. Estes dois segmentos formam uma cadeia (o fim de \overrightarrow{AB} é B, que é o início de \overrightarrow{BC}).
Pela definição da soma (Passo 2), ao concatenar \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} obtemos
Intuição: ir de A a B e depois de B a C é o mesmo que ir de A a C diretamente.
Passo 4
Calcular (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}.
Já vimos que \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}. Como \vec{w}=\overrightarrow{CD}, os segmentos \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{CD} também formam uma cadeia (o fim de \overrightarrow{AC} é C, início de \overrightarrow{CD} é C).
Agora some \vec{u}=\overrightarrow{AB} com esse resultado; os segmentos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BD} formam uma cadeia (fim de \overrightarrow{AB} é B, início de \overrightarrow{BD} é B), então
Observação sobre escolha de representantes (por que a prova é geral).
Foi possível tomar representantes em cadeia (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}) porque qualquer vetor pode ser transportado por tradução paralela sem alterar seu valor. Assim, para vetores quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w} é sempre possível escolher pontos A,B,C,D de modo que as igualdades acima se atendam.
Como as equalidades foram obtidas apenas usando a definição geométrica da soma, que é independente da escolha particular de representantes (pela invariância por translação), a conclusão vale para quaisquer vetores no espaço.