Prove a propriedade associativa da soma de vetores no espaço, usando a definição sem coordenadas. Isto é, prove que (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).(Dica: Tome representantes \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, e \vec{w}=\overrightarrow{C D}. Então calcule as quantidades envolvidas verificando que são iguais.)

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O objetivo é provar, sem usar coordenadas, que a soma de vetores no espaço é associativa, ou seja mostrar que
(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).
  • O enunciado sugere tomar representantes dos vetores por segmentos orientados conectados em cadeia:
\vec{u}=\overrightarrow{AB},\qquad \vec{v}=\overrightarrow{BC},\qquad \vec{w}=\overrightarrow{CD},
onde A,B,C,D são pontos do espaço.
  • Não se resolve nada ainda; apenas ficou claro o que é pedido e quais dados serão usados (os representantes \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}).

Passo 2

Lembrando a definição geométrica de soma de vetores (sem coordenadas).
  • Um vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados: dois segmentos orientados são representantes do mesmo vetor se têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento; geometricamente isso equivale a poder traduzir um segmento paralelamente para coincidir com o outro.
  • A soma de dois vetores é definida geometricamente da seguinte maneira: se se tem dois segmentos orientados que formam uma cadeia, isto é, o fim do primeiro é o início do segundo, então a soma é o segmento orientado do início do primeiro ao fim do segundo. Em símbolos: se temos segmentos \overrightarrow{XY} e \overrightarrow{YZ}, então a definição natural da soma é
\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}.
  • Essa operação é bem definida porque vetores podem ser transportados por tradução: se um dos segmentos for substituído por outro representante do mesmo vetor, pode-se traduzir de modo a manter a cadeia e o segmento resultante representará o mesmo vetor soma.

Passo 3

Aplicando a definição ao par \vec{u}+\vec{v}.
  • Como dado, \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{BC}. Estes dois segmentos formam uma cadeia (o fim de \overrightarrow{AB} é B, que é o início de \overrightarrow{BC}).
  • Pela definição da soma (Passo 2), ao concatenar \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} obtemos
\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
  • Intuição: ir de A a B e depois de B a C é o mesmo que ir de A a C diretamente.

Passo 4

Calcular (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}.
  • Já vimos que \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}. Como \vec{w}=\overrightarrow{CD}, os segmentos \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{CD} também formam uma cadeia (o fim de \overrightarrow{AC} é C, início de \overrightarrow{CD} é C).
  • Pela mesma definição de soma,
(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
  • Intuição: ir A\to C e depois C\to D é ir A\to D.

Passo 5

Calcular \vec{v}+\vec{w} e depois \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).
  • Com \vec{v}=\overrightarrow{BC} e \vec{w}=\overrightarrow{CD}, a concatenação dá
\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}.
  • Agora some \vec{u}=\overrightarrow{AB} com esse resultado; os segmentos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BD} formam uma cadeia (fim de \overrightarrow{AB} é B, início de \overrightarrow{BD} é B), então
\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}.
  • Intuição: ir B\to D depois unir com A\to B A\to D.

Passo 6

Concluir a igualdade buscando o mesmo representante final.
  • Dos Passos 4 e 5 obtemos
(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\overrightarrow{AD} \qquad\text{e}\qquad \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=\overrightarrow{AD}.
  • Portanto ambos os lados são o mesmo vetor \overrightarrow{AD}, logo
(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}).

Passo 7

Observação sobre escolha de representantes (por que a prova é geral).
  • Foi possível tomar representantes em cadeia ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}) porque qualquer vetor pode ser transportado por tradução paralela sem alterar seu valor. Assim, para vetores quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w} é sempre possível escolher pontos A,B,C,D de modo que as igualdades acima se atendam.
  • Como as equalidades foram obtidas apenas usando a definição geométrica da soma, que é independente da escolha particular de representantes (pela invariância por translação), a conclusão vale para quaisquer vetores no espaço.

Resposta

(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=\overrightarrow{AD}

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