Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no \mathbb{R}^{n} junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
c) x+0=x

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
x+0=x
para vetores em \mathbb{R}^{n}. As informações relevantes que temos são:
  • x é um vetor arbitrário em \mathbb{R}^{n}.
  • A soma de vetores em \mathbb{R}^{n} é feita componente a componente.
  • O vetor 0 denota o vetor nulo (ou vetor zero) em \mathbb{R}^{n}, isto é, o vetor cujas componentes são todas iguais a 0 (o zero dos números reais).
  • Nos números reais vale a propriedade aditiva: para todo real a, tem-se a+0=a.

Passo 2

Definições que vamos usar (escrevendo explicitamente para não pular etapas):
  • Escreve-se o vetor x como
x=(x_1,x_2,\dots,x_n),
onde cada x_i é um número real (a i-ésima componente de x).
  • O vetor zero em \mathbb{R}^{n} é
0=(0,0,\dots,0),
onde cada entrada é o número real 0.
  • A soma de dois vetores u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n) em \mathbb{R}^{n} é definida por
u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n).

Passo 3

Lembrar e justificar a propriedade que usaremos nos componentes: nos números reais existe um elemento neutro aditivo (o zero real) tal que, para todo a\in\mathbb{R},
a+0=a.
Isto é um axioma da estrutura dos números reais (ou pode ser verificado por definição). Um exemplo numérico para fixar a ideia: 5+0=5, -3+0=-3, etc.

Passo 4

Aplicar a definição de soma componente a componente a x e ao vetor 0. Usando as notações acima,
x+0=(x_1,x_2,\dots,x_n)+(0,0,\dots,0)=(x_1+0,\;x_2+0,\;\dots,\;x_n+0).
Agora, aplicando a propriedade aditiva dos reais em cada componente (isto é, para cada i vale x_i+0=x_i), obtemos
(x_1+0,\;x_2+0,\;\dots,\;x_n+0)=(x_1,x_2,\dots,x_n)=x.
Dessa forma, chegamos exatamente à igualdade pedida.
Para fixar com um exemplo concreto: em \mathbb{R}^{3}, se x=(2,-1,4) então
x+0=(2,-1,4)+(0,0,0)=(2+0,\,-1+0,\,4+0)=(2,-1,4)=x,
o que ilustra o cálculo feito em geral.

Passo 5

Interpretação final: mostramos que somar o vetor zero a qualquer vetor x não altera suas componentes porque somar 0 a cada componente não muda o valor daquela componente. Portanto o vetor zero é o elemento neutro aditivo em \mathbb{R}^{n}.

Resposta

x+0=x

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