Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no
junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
para vetores em
. As informações relevantes que temos são:
-
é um vetor arbitrário em . - A soma de vetores em
é feita componente a componente. - O vetor
denota o vetor nulo (ou vetor zero) em , isto é, o vetor cujas componentes são todas iguais a (o zero dos números reais). - Nos números reais vale a propriedade aditiva: para todo real
, tem-se .
Passo 2
Definições que vamos usar (escrevendo explicitamente para não pular etapas):
- Escreve-se o vetor
como
onde cada
é um número real (a
-ésima componente de
).
- O vetor zero em
é
onde cada entrada é o número real
.
- A soma de dois vetores
e em é definida por
Passo 3
Lembrar e justificar a propriedade que usaremos nos componentes: nos números reais existe um elemento neutro aditivo (o zero real) tal que, para todo
,
Isto é um axioma da estrutura dos números reais (ou pode ser verificado por definição). Um exemplo numérico para fixar a ideia:
,
, etc.
Passo 4
Aplicar a definição de soma componente a componente a
e ao vetor
. Usando as notações acima,
Agora, aplicando a propriedade aditiva dos reais em cada componente (isto é, para cada
vale
), obtemos
Dessa forma, chegamos exatamente à igualdade pedida.
Para fixar com um exemplo concreto: em
, se
então
o que ilustra o cálculo feito em geral.
Passo 5
Interpretação final: mostramos que somar o vetor zero a qualquer vetor
não altera suas componentes porque somar
a cada componente não muda o valor daquela componente. Portanto o vetor zero é o elemento neutro aditivo em
.