Mostre que os vetores \{\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}\} formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} em cada ponto onde a curvatura \kappa \neq 0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} em cada ponto onde a curvatura \kappa\neq 0.
Informações relevantes e definições que vamos usar (essas são as hipóteses implícitas do enunciado, típicas do triêdo de Frenet; estou apegando essas definições ao problema):
A curva está parametrizada por comprimento de arco s, e \mathbf{T}(s) é o vetor tangente unitário: \mathbf{T}(s)=\mathbf{r}'(s) com \|\mathbf{T}(s)\|=1.
A curvatura é \kappa(s)=\|\mathbf{T}'(s)\|. A hipótese \kappa\neq 0 garante \mathbf{T}'(s)\neq \mathbf{0}.
O vetor normal principal é definido por \mathbf{N}(s)=\dfrac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|}=\dfrac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)}.
O binormal é definido por \mathbf{B}(s)=\mathbf{T}(s)\times\mathbf{N}(s).
O objetivo concreto: provar que em cada ponto (fixo s com \kappa(s)\neq 0) os três vetores são (i) de norma 1 e (ii) mutuamente ortogonais; daí seguir que formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.
Passo 2
Mostrar que \mathbf{T} é unitário e deduzir que \mathbf{T}\cdot\mathbf{T}'=0.
Por definição temos \|\mathbf{T}\|=1, isto é,
\mathbf{T}\cdot\mathbf{T}=1.
Diferenciando ambos os lados em relação a s (regra do produto escalar/diferenciação) obtém-se
Isto significa que \mathbf{T}' é perpendicular a \mathbf{T}. Como \mathbf{N} é a normalização de \mathbf{T}', concluímos que \mathbf{N} também é perpendicular a \mathbf{T}. Em símbolos:
\mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=0.
Explicação didática rápida: derivar \mathbf{T}\cdot\mathbf{T}=1 serve para mostrar que um vetor unitário tem derivada ortogonal a ele mesmo — a velocidade de variação de direção não tem componente na própria direção.
Passo 3
Mostrar que \mathbf{N} é unitário.
Pela definição \mathbf{N}=\dfrac{\mathbf{T}'}{\kappa} e por definição de \kappa tem-se \|\mathbf{T}'\|=\kappa. Logo
Comentário prático: sempre que normaliza um vetor não nulo, obtém-se um vetor unitário — por isso a exigência \kappa\neq 0 (para evitar divisão por zero).
Passo 4
Definir \mathbf{B} e mostrar que \mathbf{B} tem norma 1 e é ortogonal a \mathbf{T} e a \mathbf{N}.
Por definição \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
Propriedades do produto vetorial que vamos usar:
\mathbf{A}\times\mathbf{C} é ortogonal a \mathbf{A} e a \mathbf{C}.
\|\mathbf{A}\times\mathbf{C}\|=\|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{C}\|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{C}.
Como já mostramos \|\mathbf{T}\|=1, \|\mathbf{N}\|=1 e \mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=0, segue que o ângulo entre \mathbf{T} e \mathbf{N} é \theta=\tfrac{\pi}{2} e portanto \sin\theta=1. Assim
Por definição isso significa que \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} é um conjunto ortonormal de três vetores.
Passo 6
Mostrar que um conjunto ortonormal de três vetores não nulos em \mathbb{R}^3 forma uma base — concluir a prova.
Teorema linear simples: vetores ortogonais não nulos são linearmente independentes; portanto três vetores ortogonais não nulos em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes.
Um conjunto de três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 é uma base de \mathbb{R}^3.
Como \{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\} são ortonormais (do passo anterior), eles são linearmente independentes e, por terem três vetores, formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.
Observação sobre a hipótese \kappa\neq 0: é essencial porque garante \mathbf{T}'\neq\mathbf{0} e portanto que \mathbf{N} está bem definido. Se \kappa=0 em um ponto, não há vetor normal principal definido por \mathbf{T}'/\kappa naquele ponto e o triêdo de Frenet não existe (ou pelo menos não é único) ali.
Resposta
Os vetores \mathbf{T}, \mathbf{N} e \mathbf{B} são mutuamente ortogonais e unitários (quando \kappa\neq 0), logo são linearmente independentes; portanto formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} em cada ponto onde \kappa\neq 0.