Encontre a parametrização pelo comprimento de arco s para a hélice circular:
\mathbf{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t), \quad a, b>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização pelo comprimento de arco s da hélice circular
\mathbf{r}(t)=(a\cos t,\; a\sin t,\; b t),\qquad a,b>0.
Pergunta concreta: escrever a mesma curva parametrizada por s, isto é, encontrar \mathbf{r}(s) tal que s seja o comprimento de arco medido a partir de um ponto de referência (escolheremos t=0 como referência, o que é usual).
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão explícita de \mathbf{r}(t).
  • Os parâmetros a e b são positivos.
  • Queremos reparametrizar por s, onde por definição
s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl\|\mathbf{r}'(u)\bigr\|\,du,
com t_0 o valor de referência (aqui vamos tomar t_0=0).

Passo 2

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) e a velocidade (norma da derivada). Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=(-a\sin t,\; a\cos t,\; b).
Agora a norma (velocidade) é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2}.
Simplificando os termos com \sin^2 t+\cos^2 t=1:
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{a^2+b^2}.
Observação didática: a velocidade é constante aqui — a hélice tem movimento uniforme em termos de parâmetro t. Anoteremos
v:=\sqrt{a^2+b^2}.

Passo 3

Escrever a função comprimento de arco s(t) tomando s(0)=0. Pela definição de comprimento de arco e porque a velocidade é constante:
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\mathbf{r}'(u)\bigr\|\,du=\int_{0}^{t}v\,du=vt.
Portanto a relação entre s e t é linear:
s=vt=\sqrt{a^2+b^2}\;t.

Passo 4

Inverter a relação s=vt para obter t em função de s. Como v>0,
t=\frac{s}{v}=\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Comentário prático: se fosse escolhido outro ponto de referência t_0 com s(t_0)=0, teríamos s=v(t-t_0) e t=t_0+\dfrac{s}{v}. Aqui ficou mais simples com t_0=0.

Passo 5

Substituir t=t(s)=\dfrac{s}{\sqrt{a^2+b^2}} em \mathbf{r}(t) para obter a parametrização por comprimento de arco:
\mathbf{r}(s)=\left(a\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right),\; a\sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right),\; b\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right).

Passo 6

Verificação rápida (importante para a prova): mostrar que essa parametrização é de velocidade unitária. Calcular \dfrac{d\mathbf{r}}{ds} e sua norma.
Derivando cada componente usando a regra da cadeia:
\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\left(-a\sin\!\left(\frac{s}{v}\right)\frac{1}{v},\; a\cos\!\left(\frac{s}{v}\right)\frac{1}{v},\; b\frac{1}{v}\right),
onde recordamos v=\sqrt{a^2+b^2}. A norma é
\left\|\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right\| =\sqrt{\frac{a^2\sin^2\!\left(\frac{s}{v}\right)}{v^2}+\frac{a^2\cos^2\!\left(\frac{s}{v}\right)}{v^2}+\frac{b^2}{v^2}} =\sqrt{\frac{a^2+b^2}{v^2}}=1.
Portanto \mathbf{r}(s) é de parâmetro de arco (unit-speed), como queríamos.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(s)=\left(a\cos\!\left(\dfrac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right),\; a\sin\!\left(\dfrac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right),\; \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\,s\right)

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