Encontre a parametrização pelo comprimento de arco s para a hélice circular:
\mathbf{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t), \quad a, b>0
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma parametrização pelo comprimento de arco s da hélice circular
\mathbf{r}(t)=(a\cos t,\; a\sin t,\; b t),\qquad a,b>0.
Pergunta concreta: escrever a mesma curva parametrizada por s, isto é, encontrar \mathbf{r}(s) tal que s seja o comprimento de arco medido a partir de um ponto de referência (escolheremos t=0 como referência, o que é usual).
Inverter a relação s=vt para obter t em função de s. Como v>0,
t=\frac{s}{v}=\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Comentário prático: se fosse escolhido outro ponto de referência t_0 com s(t_0)=0, teríamos s=v(t-t_0) e t=t_0+\dfrac{s}{v}. Aqui ficou mais simples com t_0=0.
Passo 5
Substituir t=t(s)=\dfrac{s}{\sqrt{a^2+b^2}} em \mathbf{r}(t) para obter a parametrização por comprimento de arco:
Verificação rápida (importante para a prova): mostrar que essa parametrização é de velocidade unitária. Calcular \dfrac{d\mathbf{r}}{ds} e sua norma.
Derivando cada componente usando a regra da cadeia: