Calcule o produto escalar entre os vetores
e
dados em cada item abaixo. Analisando apenas o sinal do produto escalar, diga se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o produto escalar entre
e . - Analisando apenas o sinal do produto escalar, decidir se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
As informações fornecidas são:
Passo 2
Definição prática que vamos usar (fórmula em coordenadas): para vetores em
,
onde
são as componentes de
e
as componentes de
.
Explicando a fórmula passo a passo: multiplica-se cada componente correspondente (primeira com primeira, segunda com segunda, terceira com terceira) e soma-se os resultados. É simples e direto na prova: alinhe as componentes e calcule produto de cada par.
Também vale lembrar a relação com o ângulo
entre vetores:
onde
e
são as normas (comprimentos) dos vetores. Como
e
são sempre positivos, o sinal de
é o mesmo do sinal de
. Assim:
-
ângulo agudo ( ); -
ângulo reto ( ); -
ângulo obtuso ( ).
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto escalar às componentes dadas:
Passo 4
Calcule cada termo:
Passo 5
Some os termos para obter o produto escalar:
Passo 6
Interpretação do sinal (usando a relação com o cosseno): como
, segue que
, portanto o ângulo entre os vetores é obtuso.
(Dica rápida para a prova: em vez de calcular normas e cosseno, basta olhar o sinal do produto escalar para decidir agudo/reto/obtuso.)
Resposta
Ângulo entre