Calcule o produto escalar entre os vetores \vec{u} e \vec{v} dados em cada item abaixo. Analisando apenas o sinal do produto escalar, diga se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
\vec{u}=(2,-3,1) e \vec{v}=(-1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}.
  • Analisando apenas o sinal do produto escalar, decidir se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
As informações fornecidas são:
\vec{u}=(2,-3,1),\qquad \vec{v}=(-1,1,0).

Passo 2

Definição prática que vamos usar (fórmula em coordenadas): para vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
onde u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} e v_1,v_2,v_3 as componentes de \vec{v}.
Explicando a fórmula passo a passo: multiplica-se cada componente correspondente (primeira com primeira, segunda com segunda, terceira com terceira) e soma-se os resultados. É simples e direto na prova: alinhe as componentes e calcule produto de cada par.
Também vale lembrar a relação com o ângulo \theta entre vetores:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são as normas (comprimentos) dos vetores. Como \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são sempre positivos, o sinal de \vec{u}\cdot\vec{v} é o mesmo do sinal de \cos\theta. Assim:
  • \vec{u}\cdot\vec{v}>0 \Rightarrow \cos\theta>0 \Rightarrow ângulo agudo ( 0^\circ<\theta<90^\circ);
  • \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow \cos\theta=0 \Rightarrow ângulo reto ( \theta=90^\circ);
  • \vec{u}\cdot\vec{v}<0 \Rightarrow \cos\theta<0 \Rightarrow ângulo obtuso ( 90^\circ<\theta<180^\circ).

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto escalar às componentes dadas:
\vec{u}\cdot\vec{v}= (2)\cdot(-1) + (-3)\cdot(1) + (1)\cdot(0).

Passo 4

Calcule cada termo:
(2)\cdot(-1)=-2, \qquad (-3)\cdot(1)=-3, \qquad (1)\cdot(0)=0.

Passo 5

Some os termos para obter o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -2 + (-3) + 0 = -5.

Passo 6

Interpretação do sinal (usando a relação com o cosseno): como \vec{u}\cdot\vec{v}=-5<0, segue que \cos\theta<0, portanto o ângulo entre os vetores é obtuso.
(Dica rápida para a prova: em vez de calcular normas e cosseno, basta olhar o sinal do produto escalar para decidir agudo/reto/obtuso.)

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=-5
Ângulo entre \vec{u} e \vec{v}: obtuso.

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