Prove que para quaisquer A e B subconjuntos de E :
iii) CE(CE A)=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra provar que, dado um universo CE A ;=; Esetminus A ;=;xin E : xnotin A e qualquer subconjunto , o complemento do complemento de em volta a ser .
Conteúdo: teoria de conjuntos, operação de complemento.
O que precisamos:
  • Definição de complemento em :
  • Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente prova duas inclusões:
    1. .
    2. .

Passo 2

Prova de xin E e xnotin CE A
  1. Pegue um elemento genérico xin A .
  2. Pela definição de complemento, isso significa CE(CE A)subseteq A
  3. Mas equivale a “não ”.
    Como já temos , essa negação vira simplesmente
  4. Conclusão: qualquer também está em , logo

Passo 3

Prova de
  1. Agora pegue um .
  2. De novo, queremos ver que .
  3. Para isso, mostre duas coisas:
    a) . Verdadeiro, porque .
    b) . Mas significa “não ”.
    Como já sabemos , a parte “ ” é falsa, então toda a conjunção fica falsa, e sua negação é verdadeira.
  4. Logo e , ou seja .
  5. Conclusão: .

Resposta

Como mostramos as duas inclusões
CE(CE A)subseteq A e Asubseteq CE(CE A),
seguimos que
CEl(CE Ar) ;=; A

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