Prove que para quaisquer
e
subconjuntos de
:
iii)
.
iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra provar que, dado um universo
e qualquer subconjunto
, o complemento do complemento de
em
volta a ser
.
Conteúdo: teoria de conjuntos, operação de complemento.
O que precisamos:
Conteúdo: teoria de conjuntos, operação de complemento.
O que precisamos:
- Definição de complemento em
: - Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente prova duas inclusões:
-
. -
.
-
Passo 2
Prova de
- Pegue um elemento genérico
. - Pela definição de complemento, isso significa
- Mas
equivale a “não ”.
Como já temos, essa negação vira simplesmente - Conclusão: qualquer
também está em , logo
Passo 3
Prova de
- Agora pegue um
. - De novo, queremos ver que
. - Para isso, mostre duas coisas:
a). Verdadeiro, porque .
b). Mas significa “não ”.
Como já sabemos, a parte “ ” é falsa, então toda a conjunção fica falsa, e sua negação é verdadeira. - Logo
e , ou seja . - Conclusão:
.
Resposta
Como mostramos as duas inclusões
seguimos que