Prove que, para quaisquer que sejam
:
a)
b) Sejam
e
, mostre que vale a proposição do item anterior.
a)
b) Sejam
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, afirma (de forma um tanto ambígua) que, para quaisquer conjuntos
, vale
e nos quer tratar disso. Segundo, dá um exemplo concreto
e
e pede para mostrar que, nesse exemplo, de fato a proposição do item anterior (a desigualdade) vale.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Temos dois conjuntos arbitrários
. - No item (b) temos os conjuntos específicos
e .
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Vamos recordar a definição que vamos precisar — com calma e sem pressa. A definição de interior de um conjunto:
Significado: um ponto
pertence a
se existe uma bola aberta (no caso da reta, um intervalo aberto centrado em
) totalmente contida em
. Esses pontos são chamados pontos interiores de
. Isso também é equivalente a dizer:
é a maior parte aberta contida em
.
Passo 3
Antes de dar o contraexemplo, vamos provar uma propriedade geral útil (muito usada em provas): para quaisquer
vale
Vou provar isso passo a passo, porque é simples e instrutivo.
Passo 4
Prova da inclusão
. Seja
. Então ou
ou
.
- Se
, então existe tal que . Como , esse mesmo intervalo está contido em . Logo . - Se
, argumento análogo dá .
Portanto, qualquerem pertence a . Isso prova a inclusão desejada.
Passo 5
Interpretação didática do que acabamos de provar: os pontos que já têm um pequeno intervalo inteiro dentro de
ou dentro de
certamente têm esse mesmo pequeno intervalo dentro de
. Por isso a união das interiors está contida na interior da união. Porém, isso não garante que a interior da união não tenha pontos adicionais que não estavam em nenhuma das interiors separadas — pode acontecer que um ponto seja interior apenas quando consideramos a união, por eventos “colaborativos” dos dois conjuntos.
Passo 6
Agora vem a parte essencial: mostrar que a igualdade nem sempre vale, i.e., que a inclusão pode ser estrita. Para isso usaremos o exemplo fornecido:
e
. Vamos analisar cuidadosamente
,
,
e
.
Passo 7
Calcular
para
. Todo ponto
com
é interior de
porque posso escolher
e então
. Assim
.
O ponto não é interior de
: qualquer intervalo
contém pontos
, e esses pontos não pertencem a
(pois
contém até
inclusive, mas não valores maiores que
). Logo
. O ponto
também não pertence a
de imediato, então não está na interior. Assim concluímos
O ponto
Passo 8
Calcular
para
. Raciocínio análogo: quaisquer
com
têm um pequeno intervalo centrado em
totalmente contido em
, logo
. O ponto
não é interior de
porque qualquer intervalo ao redor de
contém números
que não pertencem a
. Assim
Passo 9
Agora a união
. Temos
Explicação: qualquer ponto
com
está em
; qualquer ponto com
está em
; o ponto
está em
e em
. Logo todo
com
pertence à união. O ponto
e
não pertencem. Portanto
, que é um intervalo aberto.
Passo 10
Como
é aberto, a interior dele é ele próprio:
Passo 11
Comparemos agora as duas expressões:
e
Observamos que
(pois
tem vizinhança inteira contida em
), mas
e
. Portanto
. Assim a inclusão do Passo 3 é estrita neste exemplo; ou seja, há pontos em
que não aparecem em
.
Passo 12
Conclusão final (explicando o porquê do item (a) e mostrando o item (b)): em geral não se tem igualdade entre
e
; a melhor relação geral é a inclusão
mas essa inclusão pode ser estrita, como o exemplo do item (b) demonstra.
Resposta
a) Em geral não são iguais: sempre vale
, mas a inclusão pode ser estrita (logo a igualdade não é garantida).
b) Para e
temos
e
, portanto
.
b) Para