Prove que, para quaisquer que sejam A, B \subset \mathbb{R} :
a) \operatorname{int}(A \cup B) \neq \operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B
b) Sejam A=(0,1] e B=[1,2), mostre que vale a proposição do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, afirma (de forma um tanto ambígua) que, para quaisquer conjuntos A,B\subset\mathbb{R}, vale
\operatorname{int}(A\cup B)\neq \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B,
e nos quer tratar disso. Segundo, dá um exemplo concreto A=(0,1] e B=[1,2) e pede para mostrar que, nesse exemplo, de fato a proposição do item anterior (a desigualdade) vale.
Informações relevantes dadas:
  • Temos dois conjuntos arbitrários A,B\subset\mathbb{R}.
  • No item (b) temos os conjuntos específicos A=(0,1] e B=[1,2).
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vamos recordar a definição que vamos precisar — com calma e sem pressa. A definição de interior de um conjunto:
\operatorname{int}S=\{x\in\mathbb{R}\mid \exists\varepsilon>0\text{ tal que }(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq S\}.
Significado: um ponto x pertence a \operatorname{int}S se existe uma bola aberta (no caso da reta, um intervalo aberto centrado em x) totalmente contida em S. Esses pontos são chamados pontos interiores de S. Isso também é equivalente a dizer: \operatorname{int}S é a maior parte aberta contida em S.

Passo 3

Antes de dar o contraexemplo, vamos provar uma propriedade geral útil (muito usada em provas): para quaisquer A,B\subset\mathbb{R} vale
\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B).
Vou provar isso passo a passo, porque é simples e instrutivo.

Passo 4

Prova da inclusão \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B). Seja x\in\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B. Então ou x\in\operatorname{int}A ou x\in\operatorname{int}B.
  • Se x\in\operatorname{int}A, então existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq A. Como A\subseteq A\cup B, esse mesmo intervalo está contido em A\cup B. Logo x\in\operatorname{int}(A\cup B).
  • Se x\in\operatorname{int}B, argumento análogo dá x\in\operatorname{int}(A\cup B).
    Portanto, qualquer x em \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B pertence a \operatorname{int}(A\cup B). Isso prova a inclusão desejada.

Passo 5

Interpretação didática do que acabamos de provar: os pontos que já têm um pequeno intervalo inteiro dentro de A ou dentro de B certamente têm esse mesmo pequeno intervalo dentro de A\cup B. Por isso a união das interiors está contida na interior da união. Porém, isso não garante que a interior da união não tenha pontos adicionais que não estavam em nenhuma das interiors separadas — pode acontecer que um ponto seja interior apenas quando consideramos a união, por eventos “colaborativos” dos dois conjuntos.

Passo 6

Agora vem a parte essencial: mostrar que a igualdade nem sempre vale, i.e., que a inclusão pode ser estrita. Para isso usaremos o exemplo fornecido: A=(0,1] e B=[1,2). Vamos analisar cuidadosamente \operatorname{int}A, \operatorname{int}B, A\cup B e \operatorname{int}(A\cup B).

Passo 7

Calcular \operatorname{int}A para A=(0,1]. Todo ponto x com 0<x<1 é interior de A porque posso escolher \varepsilon=\min\{x/2,(1-x)/2\}>0 e então (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(0,1)\subset(0,1]. Assim (0,1)\subseteq\operatorname{int}A.
O ponto x=1 não é interior de A: qualquer intervalo (1-\delta,1+\delta) contém pontos >1, e esses pontos não pertencem a A (pois A contém até 1 inclusive, mas não valores maiores que 1). Logo 1\notin\operatorname{int}A. O ponto 0 também não pertence a A de imediato, então não está na interior. Assim concluímos
\operatorname{int}A=(0,1).

Passo 8

Calcular \operatorname{int}B para B=[1,2). Raciocínio análogo: quaisquer x com 1<x<2 têm um pequeno intervalo centrado em x totalmente contido em B, logo (1,2)\subseteq\operatorname{int}B. O ponto x=1 não é interior de B porque qualquer intervalo ao redor de 1 contém números <1 que não pertencem a B. Assim
\operatorname{int}B=(1,2).

Passo 9

Agora a união A\cup B. Temos
A\cup B=(0,1]\cup[1,2)=(0,2).
Explicação: qualquer ponto x com 0<x<1 está em A; qualquer ponto com 1<x<2 está em B; o ponto 1 está em A e em B. Logo todo x com 0<x<2 pertence à união. O ponto 0 e 2 não pertencem. Portanto A\cup B=(0,2), que é um intervalo aberto.

Passo 10

Como A\cup B=(0,2) é aberto, a interior dele é ele próprio:
\operatorname{int}(A\cup B)=(0,2).

Passo 11

Comparemos agora as duas expressões:
\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=(0,1)\cup(1,2)
e
\operatorname{int}(A\cup B)=(0,2).
Observamos que 1\in\operatorname{int}(A\cup B) (pois 1 tem vizinhança inteira contida em (0,2)), mas 1\notin\operatorname{int}A e 1\notin\operatorname{int}B. Portanto 1\notin\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B. Assim a inclusão do Passo 3 é estrita neste exemplo; ou seja, há pontos em \operatorname{int}(A\cup B) que não aparecem em \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B.

Passo 12

Conclusão final (explicando o porquê do item (a) e mostrando o item (b)): em geral não se tem igualdade entre \operatorname{int}(A\cup B) e \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B; a melhor relação geral é a inclusão
\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B),
mas essa inclusão pode ser estrita, como o exemplo do item (b) demonstra.

Resposta

a) Em geral não são iguais: sempre vale \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B), mas a inclusão pode ser estrita (logo a igualdade não é garantida).
b) Para A=(0,1] e B=[1,2) temos \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=(0,1)\cup(1,2) e \operatorname{int}(A\cup B)=(0,2), portanto \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\neq\operatorname{int}(A\cup B).

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