Seja M um espaço métrico com a métrica zero-um, mostre que M é um espaço métrico discreto. Defina bola aberta, bola fechada e esfera para M.
Passo 1
O enunciado dá um espaço métrico M cuja métrica é a métrica zero-um. O que se pede:
Mostrar que M é um espaço métrico discreto (ou seja, que cada ponto de M é um ponto isolado / cada singleton é aberto).
Definir (explicitamente) a bola aberta, a bola fechada e a esfera em M.
Informações relevantes fornecidas:
A métrica é a métrica zero-um (vou escrever explicitamente a definição abaixo para ficar claro e não assumir nada).
Passo 2
Vou escrever a definição da métrica zero-um e também recordar as definições das bolas e da esfera, para usarmos depois de forma precisa.
Definição da métrica zero-um: para x,y\in M\) defina a distância \(d\) por
\[d(x,y)=\begin{cases} 0,&\text{se }x=y,\\[4pt] 1,&\text{se }x\ne y. \end{cases}
Definições (padrão) que usaremos:
A bola aberta centrada em x\] de raio \(r>0 é
B(x,r)=\{y\in M:\; d(x,y)<r\}.
A bola fechada centrada em x de raio r\ge 0 é
\overline{B}(x,r)=\{y\in M:\; d(x,y)\le r\}.
A esfera centrada em x de raio r\ge 0 é
S(x,r)=\{y\in M:\; d(x,y)=r\}.]
Passo 3
Vamos analisar a estrutura dos valores de d(x,y) e o que isso implica para desigualdades do tipo d(x,y)<r e d(x,y)\le r.
Observação chave: para quaisquer x,y\in M temos apenas duas possibilidades para d(x,y): d(x,y)=0 quando y=x e d(x,y)=1 quando y\ne x. Portanto, qualquer comparação com um raio r cai em casos relativos a 0 e 1:
Se 0<r\le 1 então a condição d(x,y)<r só pode ser satisfeita por pontos com d(x,y)=0, ou seja y=x.
Se r>1 então tanto d(x,y)=0 quanto d(x,y)=1 satisfazem d(x,y)<r, logo todos os pontos entram.
Para a desigualdade d(x,y)\le r a análise é semelhante: se 0\le r<1 só d=0 entra; se r\ge 1 ambos os valores 0 e 1 entram.
Passo 4
Agora calculo explicitamente a bola aberta B(x,r) usando os raciocínios do passo anterior.
Caso 1: 0<r\le 1.
Como d(x,y) só pode ser 0 ou 1, a condição d(x,y)<r implica d(x,y)=0, portanto y=x.
Conclusão:
B(x,r)=\{x\}\quad\text{se }0<r\le 1.
Caso 2: r>1.
Aqui d(x,y)<r é satisfeita para qualquer y (pois d(x,y)\in\{0,1\}<r).
Conclusão:
B(x,r)=M\quad\text{se }r>1.
Observação sobre r\le 0: a definição padrão exige r>0 para bolas abertas; se alguém quiser considerar r\le 0 então por definição usual B(x,r)=\varnothing quando r\le 0. Vou continuar a trabalhar com r>0.
Passo 5
Mostro agora que cada singleton \{x\} é aberto, o que implica que M é um espaço discreto (definição: espaço topológico no qual todos os subconjuntos são abertos; equivalentemente, cada ponto tem vizinhança que o isola).
Para qualquer x\in M tome r=1. Pelas contas do passo anterior temos
B(x,1)=\{x\}.
Assim \{x\} é uma bola aberta, logo é um conjunto aberto. Como qualquer conjunto A\subseteq M pode ser escrito como união de singletons,
A=\bigcup_{x\in A}\{x\},
e união de abertos é aberta, segue que todo A\subseteq M é aberto. Portanto a topologia induzida por d é a topologia discreta e assim M é um espaço métrico discreto.
Passo 6
Complemento: mostro também que todo conjunto é fechado (é útil e simples). Como todo conjunto é aberto, o complemento de qualquer conjunto é aberto, logo todo conjunto é fechado. Em particular, toda singleton é fechada.
Passo 7
Agora calculo explicitamente a bola fechada \overline{B}(x,r).
Caso A: 0\le r<1.
A condição d(x,y)\le r<1 força d(x,y)=0, logo y=x.
Conclusão:
\overline{B}(x,r)=\{x\}\quad\text{se }0\le r<1.
Caso B: r\ge 1.
Aqui d(x,y)\le r é satisfeita por ambos d=0 e d=1, portanto por todo y\in M.
Conclusão:
\overline{B}(x,r)=M\quad\text{se }r\ge 1.
Observação especial: para r=0 a bola fechada é \overline{B}(x,0)=\{x\}, conforme a fórmula do Caso A.
Passo 8
Finalmente calculo a esfera S(x,r)=\{y\in M:\; d(x,y)=r\}. Como os únicos valores possíveis de d são 0 e 1, a esfera só pode ser não vazia para r=0 ou r=1.
Se r=0 então S(x,0)=\{y:\\ d(x,y)=0\}=\{x\}.
Se r=1 então S(x,1)=\{y:\\ d(x,y)=1\}=M\setminus\{x\}.
Se r satisfaz 0<r<1 então não existe y com d(x,y)=r, logo S(x,r)=\varnothing.
Se r>1 também não existe ponto com d(x,y)=r, logo S(x,r)=\varnothing.
Passo 9
Resumo didático (como aplicar isso numa prova):
Escreva a definição de d. Observe que só há duas distâncias possíveis: 0 ou 1.
Compare d(x,y) com o raio r e deduza casos r\le 0, 0<r\le 1, r>1.
Para mostrar discreto: basta mostrar que B(x,1)=\{x\}, assim todo singleton é aberto e, por uniões, todos os subconjuntos são abertos.
Resposta
M\) é um espaço métrico discreto (cada singleton \(\{x\}\) é aberto, pois \(B(x,1)=\{x\}\)).\n
Bola aberta: para \(x\in M\) e \(r>0\),
\[B(x,r)=\begin{cases} \{x\},&\text{se }0<r\le 1,\\[4pt] M,&\text{se }r>1. \end{cases}\n