Seja C um subconjunto conexo de um espaço topológico X. Se, para algum S \in X, tem-se C \cap \operatorname{int} S \neq \emptyset e C \cap(X-S) \neq \emptyset, então C \cap \operatorname{fr}(S). Ou seja: se um conjunto conexo C contém um ponto interior de S e um ponto fora de S, então C contém algum ponto da fronteira de S.
Passo 1
O enunciado diz: seja C um subconjunto conexo de um espaço topológico X. Há um conjunto S\subset X tais que
C\cap \operatorname{int} S \neq \emptyset
e
C\cap (X - S) \neq \emptyset.
A pergunta é provar que então
C\cap \operatorname{fr}(S)\neq \emptyset.
Ou seja: se C contém um ponto interior de S e também um ponto fora de S, então C contém algum ponto da fronteira de S.
Passo 2
Vamos lembrar algumas identidades e propriedades que vamos usar (vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando juntos).
A fronteira de S é \operatorname{fr}(S)=\overline{S}\setminus \operatorname{int}S, onde \overline{S} é o fecho (fechamento) de S e \operatorname{int}S é o interior de S.
A interior do complementar satisfaz a igualdade padrão
\operatorname{int}(X-S)=X-\overline{S}.
Explicando isso: x\in X-\overline{S} significa que existe uma vizinhança aberta de x que não toca S, logo essa vizinhança está contida em X-S, portanto x\in\operatorname{int}(X-S). O raciocínio inverso é análogo; assim os dois conjuntos coincidem.
Usando a expressão da fronteira, a parte complementar da fronteira é
Isto segue da álgebra de conjuntos: como \operatorname{fr}(S)=\overline{S}\setminus\operatorname{int}S, temos X\setminus\operatorname{fr}(S)=(X\setminus\overline{S})\cup\operatorname{int}S=\operatorname{int}(X-S)\cup\operatorname{int}S.
Passo 3
Para guiar a prova, usemos o método clássico por contradição. Suponha, para obter contradição, que
C\cap \operatorname{fr}(S)=\emptyset.
Então todo ponto de C não está na fronteira, logo pertence a X\setminus\operatorname{fr}(S). Usando a identidade do passo anterior,
C \subset X\setminus\operatorname{fr}(S)=\operatorname{int}S \cup \operatorname{int}(X-S).
Passo 4
Agora note duas coisas importantes sobre os conjuntos \operatorname{int}S e \operatorname{int}(X-S):
Ambos são abertos em X.
Eles são disjuntos, porque \operatorname{int}S\subset\overline{S} e \operatorname{int}(X-S)=X-\overline{S}, então \operatorname{int}S\cap \operatorname{int}(X-S)=\emptyset.
Portanto \operatorname{int}S e \operatorname{int}(X-S) são duas aberturas disjuntas de X.
Passo 5
Intersecionando com C obtemos
C = \big(C\cap \operatorname{int}S\big)\;\cup\;\big(C\cap \operatorname{int}(X-S)\big),
e as duas partes são disjuntas. Pelo enunciado temos já que C\cap \operatorname{int}S \neq \emptyset. Resta ver que C\cap \operatorname{int}(X-S)\neq\emptyset. Como supusemos C\cap \operatorname{fr}(S)=\emptyset e sabemos que existe um ponto em C\cap (X-S) (hipótese do enunciado), esse ponto não pode estar na fronteira (pela suposição), portanto não pertence a \overline{S}. Mas não pertencer a \overline{S} é equivalente a pertencer a \operatorname{int}(X-S) (veja passo 2). Logo aquele ponto de C\cap (X-S) na verdade pertence a C\cap \operatorname{int}(X-S). Assim
C\cap \operatorname{int}(X-S)\neq\emptyset.
Passo 6
Concluímos que C é a união de duas partes não vazias, disjuntas e abertas em C (cada interseção com C é aberta em C pois são interseções de abertos de X com C). Isso significa que C é desconexo — contradizendo a hipótese de que C é conexo.
Passo 7
A contradição veio da suposição C\cap\operatorname{fr}(S)=\emptyset. Portanto essa suposição é falsa, e temos a conclusão desejada: