Prove que:
x \cdot 0=0
usando os axiomas de corpo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer corpo, vale
x\cdot 0 = 0.
Os axiomas que vamos usar são:
– existência de elemento neutro aditivo 0 tal que para todo a, a+0=a;
– existência de inverso aditivo -a com a+(-a)=0;
– distributividade do produto em relação à soma: a\,(b+c)=a\,b+a\,c;
– associatividade e comutatividade da soma.

Passo 2

Como 0 é neutro aditivo, temos
0 = 0 + 0.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade anterior por x e aplicamos a distributividade:
x\cdot 0 = x\cdot(0+0) = x\cdot 0 + x\cdot 0.

Passo 4

Defina y = x\cdot 0. A igualdade do passo anterior vira
y = y + y.
Agora some o inverso aditivo de y em ambos os lados:
y + (-y) = (y + y) + (-y).
Pelo axioma do inverso aditivo, o lado esquerdo é 0. No lado direito use associatividade e comutatividade:
(y + y) + (-y) = y + (y + (-y)) = y + 0 = y.
Logo
0 = y.
Substituindo y = x\cdot 0, concluímos
x\cdot 0 = 0.

Resposta

x\cdot 0 = 0.

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