Prove que:
usando os axiomas de corpo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer corpo, vale
Os axiomas que vamos usar são:
– existência de elemento neutro aditivo tal que para todo
,
;
– existência de inverso aditivo com
;
– distributividade do produto em relação à soma: ;
– associatividade e comutatividade da soma.
– existência de elemento neutro aditivo
– existência de inverso aditivo
– distributividade do produto em relação à soma:
– associatividade e comutatividade da soma.
Passo 2
Como
é neutro aditivo, temos
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade anterior por
e aplicamos a distributividade:
Passo 4
Defina
. A igualdade do passo anterior vira
Agora some o inverso aditivo de
em ambos os lados:
Pelo axioma do inverso aditivo, o lado esquerdo é
. No lado direito use associatividade e comutatividade:
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Substituindo
, concluímos