8 Prove que qualquer conjunto de três vetores do V2(R) é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que quaisquer três vetores em V2(R) são linearmente dependentes.
Aqui vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto v1,v2,v3 é dependente se existir (alpha1,alpha2,alpha3)neq(0,0,0) tal que
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=0
Também precisamos do fato de que um sistema homogêneo com mais incógnitas que equações sempre tem solução não trivial.

Passo 2

Represente cada vetor em coordenadas em R^2:
v1=(x1,y1), v2=(x2,y2), v3=(x3,y3)
A condição de combinação linear nula
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=0
é equivalente ao sistema homogêneo em alpha1,alpha2,alpha3:
alpha1x1+alpha2x2+alpha3x3=0, alpha1y1+alpha2y2+alpha3y3=0

Passo 3

Nesse sistema temos 2 equações e 3 incógnitas alpha1,alpha2,alpha3.
Teorema de sistemas lineares diz que um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre admite solução não trivial.
Logo existem (alpha1,alpha2,alpha3)neq(0,0,0) satisfazendo as duas equações simultaneamente.

Passo 4

Este vetor de coeficientes não trivial prova, pela definição de dependência linear, que
v1,v2,v3 é linearmente dependente.

Resposta

Qualquer conjunto de três vetores em V2(R) é linearmente dependente.

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