8 Prove que qualquer conjunto de três vetores do
é linearmente dependente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que quaisquer três vetores em
são linearmente dependentes.
Aqui vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto é dependente se existir
tal que
Aqui vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto
Também precisamos do fato de que um sistema homogêneo com mais incógnitas que equações sempre tem solução não trivial.
Passo 2
Represente cada vetor em coordenadas em
:
A condição de combinação linear nula
é equivalente ao sistema homogêneo em
:
Passo 3
Nesse sistema temos 2 equações e 3 incógnitas
.
Teorema de sistemas lineares diz que um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre admite solução não trivial.
Logo existem satisfazendo as duas equações simultaneamente.
Teorema de sistemas lineares diz que um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre admite solução não trivial.
Logo existem
Passo 4
Este vetor de coeficientes não trivial prova, pela definição de dependência linear, que
é linearmente dependente.
Resposta
Qualquer conjunto de três vetores em
é linearmente dependente.