Prove que em qualquer conjunto de vetores S existe um subconjunto S^prime linearmente independente tal que . (Axioma da escolha)

Passo 1

A questão pede para mostrar que dado um conjunto de vetores S em um espaço vetorial V, existe um subconjunto S'subseteq S que é linearmente independente e tal que span(S')=span(S). O conteúdo principal envolve independência linear, geradores de subespaço e o uso do axioma da escolha via Lema de Zorn.

Passo 2

Vamos considerar o conjunto P de todos os subconjuntos de S que são linearmente independentes e ordenar P pelo inclusivo. Ou seja,
P=,Tsubseteq Smid T é linearmente independenteé\no qual definimos a ordem natural por inclusão.

Passo 3

Precisamos verificar que todo subconjunto totalmente ordenado (cadeia) em P tem um majorante em P. Seja CsubseteqP uma cadeia. Definimos o candidato a majorante como
U=cupTinCT

Passo 4

Mostramos que U é linearmente independente. De fato, se houvesse uma combinação linear finita não trivial
sumi=1^kalphai ui=0\com uiin U e nem todos alphai nulos, então todos os ui vêm de algum mesmo T0inC (porque C é cadeia), mas isso contradiz a independência de T0. Logo, UinP e é majorante de C.

Passo 5

Pelo Lema de Zorn, como toda cadeia em P tem majorante, existe um elemento maximal S'inP. Ou seja, S' é um subconjunto linearmente independente de S que não pode ser estritamente ampliado dentro de S mantendo a independência.

Passo 6

Para concluir, mostramos que span(S')=span(S). Se fosse span(S')subsetneqspan(S), existiria algum vin S que não pertence a span(S'). Então S'cupv seria ainda linearmente independente (pois adicionar um vetor fora do span não cria dependência), contradizendo a maximalidade de S'. Portanto, deve ser span(S')=span(S).

Resposta

O subconjunto maximal S'subseteq S obtido pelo Lema de Zorn é linearmente independente e satisfaz span(S')=span(S), como queríamos.

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