Prove que em qualquer conjunto de vetores
existe um subconjunto
linearmente independente tal que
. (Axioma da escolha)
Passo 1
A questão pede para mostrar que dado um conjunto de vetores
em um espaço vetorial
, existe um subconjunto
que é linearmente independente e tal que
. O conteúdo principal envolve independência linear, geradores de subespaço e o uso do axioma da escolha via Lema de Zorn.
Passo 2
Vamos considerar o conjunto
de todos os subconjuntos de
que são linearmente independentes e ordenar
pelo inclusivo. Ou seja,
Passo 3
Precisamos verificar que todo subconjunto totalmente ordenado (cadeia) em
tem um majorante em
. Seja
uma cadeia. Definimos o candidato a majorante como
Passo 4
Mostramos que
é linearmente independente. De fato, se houvesse uma combinação linear finita não trivial
Passo 5
Pelo Lema de Zorn, como toda cadeia em
tem majorante, existe um elemento maximal
. Ou seja,
é um subconjunto linearmente independente de
que não pode ser estritamente ampliado dentro de
mantendo a independência.
Passo 6
Para concluir, mostramos que
. Se fosse
, existiria algum
que não pertence a
. Então
seria ainda linearmente independente (pois adicionar um vetor fora do span não cria dependência), contradizendo a maximalidade de
. Portanto, deve ser
.
Resposta
O subconjunto maximal
obtido pelo Lema de Zorn é linearmente independente e satisfaz
, como queríamos.