Verificar se o conjunto F=(x, y) in R times0, x y=0 é um subespaço vetorial do espaço vetorial E=R times0?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F={(x,y)\in\mathbb{R}\times{0}\mid x,y=0} é um subespaço vetorial do espaço E=\mathbb{R}\times{0}. O tema aqui é subespaço vetorial, e vamos precisar usar a definição de subespaço (vetor zero, fechadura em soma e multiplicação escalar) e analisar a descrição de F.

Passo 2

Para começar, note que E=\mathbb{R}\times{0} é o conjunto de todos os vetores da forma (x,0). Já em F a condição é x,y=0. Mas em E temos sempre y=0.

Passo 3

Como em E todo vetor é (x,0), a expressão x,y vira x\cdot0, que é zero para qualquer x. Logo, todo (x,0) satisfaz x,y=0. Isso mostra que F coincide exatamente com E.

Passo 4

Se F=E e sabemos que E é um subespaço (é fechado em soma e produto escalar e contém o vetor zero), então F herda essas propriedades diretamente e é subespaço vetorial de E.

Resposta

Sim. F=E e, portanto, F é um subespaço vetorial de E.

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