Sejam V e [S]=[R] conjuntos ortonormais de um espaço euclidiano u in V tais que . Então, para , temos
[
\left\langle u, u_{1}\right\rangle u_{1}+\left\langle u, u_{2}\right\rangle u_{2}+\cdots+\left\langle u, u_{n}\right\rangle u_{n}=\left\langle u, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle u, v_{2}\right\rangle v_{2} \cdots+\left\langle u, v_{n}\right\rangle v_{n} .

Passo 1

O enunciado diz que temos dois conjuntos ortonormais S=u1,dots,un e R=v1,dots,vn que geram o mesmo subespaço [S]=[R]. A tarefa é mostrar que, para todo uin V, os somatórios de projeção de u sobre cada base coincidem: ou seja, são iguais.

Passo 2

Como S é ortonormal e gera um subespaço de dimensão n, vale a decomposição ortogonal de qualquer vetor uin V:
u=sumi=1^nlang<= u,uirang<= ui+w,
onde w é ortogonal a todo vetor de S. O termo
PS(u)=sumi=1^nlang<= u,uirang<= ui
é justamente a projeção ortogonal de u em [S].

Passo 3

De modo análogo, como R é também ortonormal e gera o mesmo subespaço, temos
u=sumi=1^nlang<= u,virang<= vi+w',
com w' ortogonal a todo vetor de R. A projeção de u em [R] é
PR(u)=sumi=1^nlang<= u,virang<= vi

Passo 4

Como [S]=[R], a projeção ortogonal de u nesse subespaço é única. Logo,
PS(u)=PR(u)

Passo 5

Concluímos que
sumi=1^nlang<= u,uirang<= ui =sumi=1^nlang<= u,virang<= vi

Resposta

sumi=1^nlang<= u,uirang<= ui=sumi=1^nlang<= u,virang<= vi, pois ambas são a projeção ortogonal de u em [S]=[R].

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