Sejam
e
conjuntos ortonormais de um espaço euclidiano
tais que
. Então, para
, temos
[
\left\langle u, u_{1}\right\rangle u_{1}+\left\langle u, u_{2}\right\rangle u_{2}+\cdots+\left\langle u, u_{n}\right\rangle u_{n}=\left\langle u, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle u, v_{2}\right\rangle v_{2} \cdots+\left\langle u, v_{n}\right\rangle v_{n} .
\left\langle u, u_{1}\right\rangle u_{1}+\left\langle u, u_{2}\right\rangle u_{2}+\cdots+\left\langle u, u_{n}\right\rangle u_{n}=\left\langle u, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle u, v_{2}\right\rangle v_{2} \cdots+\left\langle u, v_{n}\right\rangle v_{n} .
Passo 1
O enunciado diz que temos dois conjuntos ortonormais
e
que geram o mesmo subespaço
. A tarefa é mostrar que, para todo
, os somatórios de projeção de
sobre cada base coincidem: ou seja, são iguais.
Passo 2
Como
é ortonormal e gera um subespaço de dimensão
, vale a decomposição ortogonal de qualquer vetor
:
onde
é ortogonal a todo vetor de
. O termo
é justamente a projeção ortogonal de
Passo 3
De modo análogo, como
é também ortonormal e gera o mesmo subespaço, temos
com
ortogonal a todo vetor de
. A projeção de
em
é
Passo 4
Como
, a projeção ortogonal de
nesse subespaço é única. Logo,
Passo 5
Concluímos que