Verificar se o conjunto E=C^0(R) é um subespaço vetorial do espaço vetorial ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
F = { f ∈ C⁰(ℝ) | limₓ→+∞ f(x) = –∞ } é subespaço vetorial de E = C⁰(ℝ). Vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

O vetor zero de E é a função nula
0(x) = 0. Como
limₓ→+∞ 0(x) = 0 ≠ –∞, a função zero não pertence a F. Logo, F falha já no critério de conter o zero.

Passo 3

Para efeito de completude, se f e g estão em F, temos
limₓ→+∞ f(x) = –∞ e limₓ→+∞ g(x) = –∞, então
limₓ→+∞ [f(x) + g(x)] = –∞ + (–∞) = –∞,
ou seja, a soma ficaria em F.

Passo 4

Ainda, na multiplicação escalar, para α = 0 temos limₓ→+∞ [0·f(x)] = 0 ≠ –∞, e para α < 0 temos limₓ→+∞ [α f(x)] = +∞. Logo, não há fechamento por escalar.

Resposta

F não é subespaço vetorial de E, pois não contém o vetor zero (e também falha no fechamento por escalar).

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