Verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
F = { f ∈ C⁰(ℝ) | limₓ→+∞ f(x) = –∞ } é subespaço vetorial de E = C⁰(ℝ). Vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação escalar.
F = { f ∈ C⁰(ℝ) | limₓ→+∞ f(x) = –∞ } é subespaço vetorial de E = C⁰(ℝ). Vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
O vetor zero de E é a função nula
0(x) = 0. Como
limₓ→+∞ 0(x) = 0 ≠ –∞, a função zero não pertence a F. Logo, F falha já no critério de conter o zero.
0(x) = 0. Como
limₓ→+∞ 0(x) = 0 ≠ –∞, a função zero não pertence a F. Logo, F falha já no critério de conter o zero.
Passo 3
Para efeito de completude, se f e g estão em F, temos
limₓ→+∞ f(x) = –∞ e limₓ→+∞ g(x) = –∞, então
limₓ→+∞ [f(x) + g(x)] = –∞ + (–∞) = –∞,
ou seja, a soma ficaria em F.
limₓ→+∞ f(x) = –∞ e limₓ→+∞ g(x) = –∞, então
limₓ→+∞ [f(x) + g(x)] = –∞ + (–∞) = –∞,
ou seja, a soma ficaria em F.
Passo 4
Ainda, na multiplicação escalar, para α = 0 temos limₓ→+∞ [0·f(x)] = 0 ≠ –∞, e para α < 0 temos limₓ→+∞ [α f(x)] = +∞. Logo, não há fechamento por escalar.
Resposta
F não é subespaço vetorial de E, pois não contém o vetor zero (e também falha no fechamento por escalar).