Qual o número de soluções que pode ter uma congruência cujo módulo é 20. Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta quantas soluções uma congruência linear pode ter quando o módulo é
. O conteúdo aqui é o estudo da congruência
e o que precisamos é lembrar do Teorema que liga o número de soluções ao máximo divisor comum entre
e o módulo.
Passo 2
O Teorema geral diz que a congruência
tem solução se, e somente se,
divide
. Se definirmos
então, quando
, existem exatamente
soluções incongruentes módulo
; caso contrário, não há solução alguma.
Passo 3
No nosso caso
. Os divisores positivos de
são
Logo
só pode assumir um desses valores. Se
não divide
, a congruência não tem solução. Se
, ela terá exatamente
soluções módulo
.
Passo 4
Portanto, variando
e
, o número de soluções incongruentes que a congruência pode ter é ou zero (quando
) ou igual a algum divisor de
. Logo as possibilidades são
Resposta
O número de soluções pode ser
justificando-se pelo fato de que, para
, o número de soluções é
(se este divide
) ou zero (caso contrário), e
só pode ser um divisor de
.