Qual o número de soluções que pode ter uma congruência cujo módulo é 20. Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta quantas soluções uma congruência linear pode ter quando o módulo é 20. O conteúdo aqui é o estudo da congruência
a x equiv b pmod20
e o que precisamos é lembrar do Teorema que liga o número de soluções ao máximo divisor comum entre a e o módulo.

Passo 2

O Teorema geral diz que a congruência
a x equiv b pmodm
tem solução se, e somente se, gcd(a,m) divide b. Se definirmos
d = gcd(a,m),
então, quando dmid b, existem exatamente d soluções incongruentes módulo m; caso contrário, não há solução alguma.

Passo 3

No nosso caso m=20. Os divisores positivos de 20 são
1,2,4,5,10,20
Logo gcd(a,20) só pode assumir um desses valores. Se d=gcd(a,20) não divide b, a congruência não tem solução. Se dmid b, ela terá exatamente d soluções módulo 20.

Passo 4

Portanto, variando a e b, o número de soluções incongruentes que a congruência pode ter é ou zero (quando gcd(a,20)nmid b) ou igual a algum divisor de 20. Logo as possibilidades são
0,;1,;2,;4,;5,;10,;20

Resposta

O número de soluções pode ser
0,1,2,4,5,10 ou 20,
justificando-se pelo fato de que, para m=20, o número de soluções é gcd(a,20) (se este divide b) ou zero (caso contrário), e gcd(a,20) só pode ser um divisor de 20.

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