Prove que
com a multiplicação e
com a adição são isomorfos via a função logaritmo.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os grupos (
) e (
) são isomorfos usando a função logaritmo. Vamos usar definição de homomorfismo de grupos e depois mostrar bijeção para concluir o isomorfismo.
Passo 2
Definimos a aplicação
por
Para verificar que
é homomorfismo, tomamos
e calculamos:
Assim,
preserva a operação de grupo.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que
é bijetora. Injetividade: como a função
é estritamente crescente em
, valores distintos em
geram imagens distintas. Sobrejetividade: dado qualquer
, basta escolher
para ter
Logo,
atinge todo
.
Passo 4
Como
é um homomorfismo bijetivo, concluímos que é um isomorfismo de grupos entre (
) e (
).
Resposta
A função
é um isomorfismo de grupos de (
) em (
).