Prove que R^+ com a multiplicação e R com a adição são isomorfos via a função logaritmo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os grupos ( R^+,times) e ( R,+) são isomorfos usando a função logaritmo. Vamos usar definição de homomorfismo de grupos e depois mostrar bijeção para concluir o isomorfismo.

Passo 2

Definimos a aplicação varphi:R^+ to R por
varphi(x)=ln(x)
Para verificar que varphi é homomorfismo, tomamos x,y>0 e calculamos:
varphi(xy)=ln(xy)=ln(x)+ln(y)=varphi(x)+varphi(y)
Assim, varphi preserva a operação de grupo.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que varphi é bijetora. Injetividade: como a função ln é estritamente crescente em R^+, valores distintos em R^+ geram imagens distintas. Sobrejetividade: dado qualquer yinR, basta escolher x=e^yinR^+ para ter
varphi(e^y)=ln(e^y)=y
Logo, varphi atinge todo R.

Passo 4

Como varphi é um homomorfismo bijetivo, concluímos que é um isomorfismo de grupos entre ( R^+,times) e ( R,+).

Resposta

A função varphi(x)=ln(x) é um isomorfismo de grupos de ( R^+,times) em ( R,+).

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