Calcule (usando coordenadas polares) a integral a seguir.
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 2(1+x^2+y^2)^2 d y d x

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem: uma integral dupla de 2(1 + x^2 + y^2)^2 sobre a região definida por -1 <= x <= 1 e -raiz1 - x^2 <= y <= raiz1 - x^2. O conteúdo que vamos usar é conversão de integrais duplas para coordenadas polares e a ideia de Jacobiano.

Passo 2

A região de integração é o disco de raio 1 centrado na origem definido por x^2 + y^2 <= 1. Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta, 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando 2/(1 + x^2 + y^2)^2 vira 2/(1 + r^2)^2 e o elemento de área dá um fator r. Assim
integral duplaD 2(1 + x^2 + y^2)^2 ,dx,dy = integral0^2pi integral0^1 2(1 + r^2)^2 ;r,dr,dtheta = integral0^2pi integral0^1 2r(1 + r^2)^2 ,dr,dtheta

Passo 4

Para resolver a integral em r, usamos a substituição u = 1 + r^2, de onde du = 2r,dr. Logo
integral0^1 2r(1 + r^2)^2 ,dr = integralu=1^u=2 1u^2 ,du = [-1u]1^2 = -12 + 1 = 12

Passo 5

Agora sobra a parte angular, que é
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 6

Multiplicando o resultado radial 1/2 pela parte angular 2pi
2pi times 12 = pi

Resposta

pi

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