Sabendo-se que a reta y=\frac{2}{5} x+40 é tangente à curva y=c \cdot \sqrt{x}, pode-se deduzir que o valor de c é
\bigcirc i. 16
\bigcirc ii. 12
\bigcirc iii. 4
\bigcirc iv. 8

Passo 1

O enunciado dá a reta y=\frac{2}{5}x+40 e a curva y=c\cdot\sqrt{x}. Pergunta qual o valor de c para que a reta seja tangente à curva. Informações relevantes que temos:
1. A reta: y=\frac{2}{5}x+40.
2. A curva: y=c\sqrt{x}.
3. Condição de tangência: existe um ponto x_0\ge 0 onde a reta e a curva se encontram e têm a mesma inclinação (mesma derivada).

Passo 2

Explicar a condição de tangência de forma prática: para a reta ser tangente à curva em algum ponto x_0 precisamos de duas coisas ao mesmo tempo:
\text{(i) } c\sqrt{x_0}=\frac{2}{5}x_0+40
\text{(ii) } \left.\frac{d}{dx}\big(c\sqrt{x}\big)\right|_{x=x_0}=\frac{2}{5}.
A equação (i) afirma que os valores de y coincidem no ponto de tangência; a (ii) afirma que as inclinações coincidem.

Passo 3

Calcular a derivada de y=c\sqrt{x}. Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\frac{d}{dx}\big(cx^{1/2}\big)=c\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{c}{2\sqrt{x}}.
Aplicando a condição (ii) em x_0 obtemos
\frac{c}{2\sqrt{x_0}}=\frac{2}{5}.

Passo 4

Resolver a equação da derivada para \sqrt{x_0}. Multiplicando ambos os lados por 2\sqrt{x_0} e isolando \sqrt{x_0},
c=\frac{4}{5}\sqrt{x_0}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x_0}=\frac{5}{4}c.

Passo 5

Expressar x_0 em função de c usando \sqrt{x_0}. Elevando ao quadrado,
x_0=\left(\frac{5}{4}c\right)^2=\frac{25}{16}c^2.

Passo 6

Usar a condição de igualdade de valores (i). Substituímos x_0 e \sqrt{x_0} na equação c\sqrt{x_0}=\frac{2}{5}x_0+40. Primeiro calculemos cada termo: \sqrt{x_0}=\frac{5}{4}c implica
c\sqrt{x_0}=c\cdot\frac{5}{4}c=\frac{5}{4}c^2.
E
\frac{2}{5}x_0=\frac{2}{5}\cdot\frac{25}{16}c^2=\frac{50}{80}c^2=\frac{5}{8}c^2.
Agora substituímos na igualdade:
\frac{5}{4}c^2=\frac{5}{8}c^2+40.

Passo 7

Resolver a equação para c^2. Subtraindo \frac{5}{8}c^2 de ambos os lados:
\left(\frac{5}{4}-\frac{5}{8}\right)c^2=40.
Calcular o coeficiente:
\frac{5}{4}-\frac{5}{8}=\frac{10}{8}-\frac{5}{8}=\frac{5}{8}.
Logo
\frac{5}{8}c^2=40\quad\Longrightarrow\quad c^2=40\cdot\frac{8}{5}=64.

Passo 8

Obter c a partir de c^2=64. Temos c=\pm 8. Precisamos decidir o sinal correto. Lembre que \sqrt{x_0}\ge 0; da relação \sqrt{x_0}=\frac{5}{4}c segue que o lado direito deve ser não-negativo. Portanto c não pode ser negativo. Assim
c=8.

Resposta

8

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