Sabendo-se que a reta y=\frac{2}{5} x+40 é tangente à curva y=c \cdot \sqrt{x}, pode-se deduzir que o valor de c é \bigcirc i. 16 \bigcirc ii. 12 \bigcirc iii. 4 \bigcirc iv. 8
Passo 1
O enunciado dá a reta y=\frac{2}{5}x+40 e a curva y=c\cdot\sqrt{x}. Pergunta qual o valor de c para que a reta seja tangente à curva. Informações relevantes que temos: 1. A reta: y=\frac{2}{5}x+40. 2. A curva: y=c\sqrt{x}. 3. Condição de tangência: existe um ponto x_0\ge 0 onde a reta e a curva se encontram e têm a mesma inclinação (mesma derivada).
Passo 2
Explicar a condição de tangência de forma prática: para a reta ser tangente à curva em algum ponto x_0 precisamos de duas coisas ao mesmo tempo:
Expressar x_0 em função de c usando \sqrt{x_0}. Elevando ao quadrado,
x_0=\left(\frac{5}{4}c\right)^2=\frac{25}{16}c^2.
Passo 6
Usar a condição de igualdade de valores (i). Substituímos x_0 e \sqrt{x_0} na equação c\sqrt{x_0}=\frac{2}{5}x_0+40. Primeiro calculemos cada termo: \sqrt{x_0}=\frac{5}{4}c implica
Obter c a partir de c^2=64. Temos c=\pm 8. Precisamos decidir o sinal correto. Lembre que \sqrt{x_0}\ge 0; da relação \sqrt{x_0}=\frac{5}{4}c segue que o lado direito deve ser não-negativo. Portanto c não pode ser negativo. Assim