Resolva o PVI.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=\operatorname{sec} x ;\quad y(0)=2 ;\quad y^{\prime}(0)=-1 ;\quad y^{\prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=\operatorname{sec} x, \qquad y(0)=2,\quad y'(0)=-1,\quad y''(0)=1.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação diferencial linear não homogênea de ordem 3: }(D^3-D^2+D-1)y=\operatorname{sec} x,\\\ &\text{Condições iniciais: }y(0)=2,\; y'(0)=-1,\; y''(0)=1. \end{aligned}çããêçõ
O que a questão pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Fatoramos o operador diferencial com coeficientes constantes para simplificar a resolução. Observamos:
D^3-D^2+D-1 = (D-1)(D^2+1).
Explicando: agrupando termos temos D^2(D-1)+1(D-1)=(D-1)(D^2+1). Isso significa que a equação pode ser vista como
(D-1)(D^2+1)y=\operatorname{sec} x.
Definimos agora uma função auxiliar
z=(D^2+1)y = y''+y.
Com essa definição a equação original vira uma equação de primeira ordem para z:
(D-1)z = z'-z = \operatorname{sec} x.
Essa redução é útil porque a solução de um sistema em cascata (primeiro resolver a equação para z, depois resolver y''+y=z) costuma ser mais simples do que atacar o terceiro ordem de uma vez.

Passo 3

Resolvemos a equação de primeira ordem para z:
z'-z=\operatorname{sec} x.
Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo z'-z=f(x). O fator integrante é e^{-x} porque multiplicando por e^{-x} temos (z e^{-x})' = e^{-x}\operatorname{sec} x. Integrando de 0 até x (escolha conveniente para usar a condição inicial mais adiante) obtemos
z(x)e^{-x}-z(0)e^{0}=\int_{0}^{x} e^{-t}\operatorname{sec} t\,dt.
Isolando z(x),
z(x)=e^{x}\Big(z(0)+\int_{0}^{x} e^{-t}\operatorname{sec} t\,dt\Big).
Agora usamos que z(0)=y''(0)+y(0). Pelas condições iniciais temos y(0)=2 e y''(0)=1, logo
z(0)=1+2=3.
Portanto
\boxed{\,z(x)=e^{x}\Big(3+\int_{0}^{x} e^{-t}\operatorname{sec} t\,dt\Big)\,}.
Observação didática: o integral \int e^{-t}\operatorname{sec} t\,dt não tem uma primitiva elementar simples, por isso mantemos a expressão em forma integral. Isso é perfeitamente aceitável: a solução será expressa em termos dessas integrais.

Passo 4

Agora resolvemos a equação de segunda ordem não homogênea
y''+y = z(x),
onde z(x) acabamos de obter. Primeiro escrevemos a solução geral da equação homogênea associada y''+y=0. As soluções fundamentais são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x,
pois \cos''x+\cos x=0 e \sin''x+\sin x=0.
Para obter uma solução particular de y''+y=z(x) usamos o método das variações das constantes (variação de parâmetros). A fórmula padrão para duas soluções fundamentais y_1,y_2 e Wronskiano W é
y_p = -y_1(x)\int \frac{y_2(t)z(t)}{W(t)}\,dt + y_2(x)\int \frac{y_1(t)z(t)}{W(t)}\,dt.
Aqui o Wronskiano de \cos x,\sin x é
W(\cos x,\sin x)=\cos x\cdot(\cos x)-(-\sin x)\cdot\sin x=\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Para simplificar a aplicação às condições iniciais, usamos as integrais definidas de 0 até x; com isso obtemos uma solução particular que satisfaz y_p(0)=y_p'(0)=0. Assim tomamos
\boxed{\,y_p(x) = -\cos x\int_{0}^{x}\sin t\,z(t)\,dt + \sin x\int_{0}^{x}\cos t\,z(t)\,dt\,.}
Esta expressão é diretamente derivada da fórmula de variação de parâmetros com limites 0 a x. Como W=1, não aparece fator extra.

Passo 5

A solução geral de y''+y=z é
y(x)=A\cos x + B\sin x + y_p(x),
onde A,B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Observação útil: pelo modo que escolhemos as integrais em y_p, vale y_p(0)=0 e também y_p'(0)=0 (pode verificar derivando a expressão e avaliando em 0). Isso facilita determinar A e B diretamente das condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1.
Aplicando y(0)=2:
y(0)=A\cos0 + B\sin0 + y_p(0) = A\cdot 1 + B\cdot 0 + 0 = A = 2.
Aplicando y'(0)=-1:
y'(x) = -A\sin x + B\cos x + y_p'(x) \implies y'(0) = -A\cdot 0 + B\cdot 1 + 0 = B = -1.
Portanto A=2 e B=-1. Assim
\boxed{\,y(x)=2\cos x - \sin x + y_p(x)\,.}

Passo 6

Substituímos z(t) obtido no Passo 3 dentro de y_p(x). Lembrando
z(t)=e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big),
temos
\begin{aligned} y_p(x) &= -\cos x\int_{0}^{x}\sin t\,e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big)\,dt \\\ &\quad + \sin x\int_{0}^{x}\cos t\,e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big)\,dt. \end{aligned}
Portanto a solução y(x) do PVI pode ser escrita explicitamente como
\begin{aligned} y(x) &= 2\cos x - \sin x \\\ &\quad -\cos x\int_{0}^{x}\sin t\,e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big)\,dt \\\ &\quad +\sin x\int_{0}^{x}\cos t\,e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big)\,dt. \end{aligned}
Explicação didática: essa expressão contém integrais aninhadas porque a fonte \operatorname{sec} x gerou, ao resolver em cascata, uma integral não elementar \int e^{-t}\operatorname{sec} t\,dt. Em muitos problemas reais isso é normal; a solução é escrita em termos dessas integrais que dependem apenas de funções conhecidas ( e^t,\sin t,\cos t,\operatorname{sec} t).

Resposta

y(x)=2\cos x - \sin x -\cos x\int_{0}^{x}\sin t\,e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big)\,dt +\sin x\int_{0}^{x}\cos t\,e^{t}\Big(3+\int_{0}^{t} e^{-s}\operatorname{sec} s\,ds\Big)\,dt.

Exercícios relacionados