Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
O que a questão pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Fatoramos o operador diferencial com coeficientes constantes para simplificar a resolução. Observamos:
Explicando: agrupando termos temos
. Isso significa que a equação pode ser vista como
Definimos agora uma função auxiliar
Com essa definição a equação original vira uma equação de primeira ordem para
:
Essa redução é útil porque a solução de um sistema em cascata (primeiro resolver a equação para
, depois resolver
) costuma ser mais simples do que atacar o terceiro ordem de uma vez.
Passo 3
Resolvemos a equação de primeira ordem para
:
Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo
. O fator integrante é
porque multiplicando por
temos
. Integrando de
até
(escolha conveniente para usar a condição inicial mais adiante) obtemos
Isolando
,
Agora usamos que
. Pelas condições iniciais temos
e
, logo
Portanto
Observação didática: o integral
não tem uma primitiva elementar simples, por isso mantemos a expressão em forma integral. Isso é perfeitamente aceitável: a solução será expressa em termos dessas integrais.
Passo 4
Agora resolvemos a equação de segunda ordem não homogênea
onde
acabamos de obter. Primeiro escrevemos a solução geral da equação homogênea associada
. As soluções fundamentais são
pois
e
.
Para obter uma solução particular de
usamos o método das variações das constantes (variação de parâmetros). A fórmula padrão para duas soluções fundamentais
e Wronskiano
é
Aqui o Wronskiano de
é
Para simplificar a aplicação às condições iniciais, usamos as integrais definidas de
até
; com isso obtemos uma solução particular que satisfaz
. Assim tomamos
Esta expressão é diretamente derivada da fórmula de variação de parâmetros com limites
a
. Como
, não aparece fator extra.
Passo 5
A solução geral de
é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Observação útil: pelo modo que escolhemos as integrais em
, vale
e também
(pode verificar derivando a expressão e avaliando em
). Isso facilita determinar
e
diretamente das condições iniciais
e
.
Aplicando
:
Aplicando
:
Portanto
e
. Assim
Passo 6
Substituímos
obtido no Passo 3 dentro de
. Lembrando
temos
Portanto a solução
do PVI pode ser escrita explicitamente como
Explicação didática: essa expressão contém integrais aninhadas porque a fonte
gerou, ao resolver em cascata, uma integral não elementar
. Em muitos problemas reais isso é normal; a solução é escrita em termos dessas integrais que dependem apenas de funções conhecidas (
).