Um círculo é inscrito num triângulo A B C e tanegncia os lados \overline{B C}, \overline{A C} e \overline{A B}, respectivamente em P, Q e R. Se A B=c, A C=b e B C=a e o semiperímetro é p, calcule A R, B P e C Q.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os comprimentos dos segmentos onde o círculo inscrito toca os lados do triângulo. Mais precisamente, queremos encontrar:
  • A R (o comprimento do segmento do vértice A até o ponto de tangência R em \overline{A B});
  • B P (do vértice B até o ponto de tangência P em \overline{B C});
  • C Q (do vértice C até o ponto de tangência Q em \overline{A C}).
Informações dadas:
  • Os comprimentos dos lados são \overline{A B}=c, \overline{A C}=b e \overline{B C}=a.
  • O semiperímetro é p, isto é \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}.
  • O círculo é inscrito no triângulo e tangencia os lados em P (em \overline{B C}), Q (em \overline{A C}) e R (em \overline{A B}).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade geométrica fundamental sobre tangentes a um círculo: tangentes traçadas a partir de um mesmo ponto externo ao círculo têm comprimentos iguais. Vou explicar com calma.
Suponha que, a partir do vértice A, traçamos duas tangentes até os pontos de contato com o círculo: uma até R (em \overline{A B}) e outra até Q (em \overline{A C}). Essas duas tangentes partindo de A têm o mesmo comprimento. O mesmo vale para as tangentes que partem de B e as que partem de C.
Essa propriedade é muito útil porque nos permite igualar vários comprimentos associados aos pontos de tangência.

Passo 3

Definimos as seguintes quantidades (todas são comprimentos positivos):
  • Seja x o comprimento A R. Pela propriedade acima, o outro segmento tangente vindo de A (que é A Q) também tem comprimento x. Então A R=A Q=x.
  • Seja y o comprimento B R. Então B P=B R=y.
  • Seja z o comprimento C P. Então C Q=C P=z.
Agora expressamos os comprimentos dos lados em função de x,y,z:
  • O lado \overline{A B} tem comprimento c. Ele é composto por A R e R B, ou seja,
x+y=c.
  • O lado \overline{A C} tem comprimento b. Ele é composto por A Q e Q C, ou seja,
x+z=b.
  • O lado \overline{B C} tem comprimento a. Ele é composto por B P e P C, ou seja,
y+z=a.

Passo 4

Temos então o sistema de três equações lineares:
\begin{cases} x+y=c,\\[4pt] x+z=b,\\[4pt] y+z=a. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para x,y,z. A ideia é combinar as equações de forma simples para isolar cada variável.
Some as duas primeiras equações e subtraia a terceira:
(x+y)+(x+z)-(y+z)=c+b-a.
No lado esquerdo as somas e subtrações cancelam y e z, ficando
2x = b+c-a.
Portanto
x=\frac{b+c-a}{2}.]

Passo 5

De modo análogo, para encontrar y some a primeira e a terceira equação e subtraia a segunda:
(x+y)+(y+z)-(x+z)=c+a-b.
Isso dá
2y = a+c-b,
logo
y=\frac{a+c-b}{2}.

Passo 6

E para z some a segunda e a terceira equação e subtraia a primeira:
(x+z)+(y+z)-(x+y)=b+a-c,
o que resulta em
2z = a+b-c,
então
z=\frac{a+b-c}{2}.

Passo 7

Agora relacionamos essas expressões com o semiperímetro p. Lembre que
p=\frac{a+b+c}{2}.
Subtraindo a de p obtemos
p-a = \frac{a+b+c}{2}-a = \frac{b+c-a}{2},
que é exatamente x. Portanto x=p-a.
De forma idêntica:
p-b = \frac{a+c-b}{2}=y,
p-c = \frac{a+b-c}{2}=z.

Passo 8

Interpretando de volta para os nomes originais dos segmentos de tangência:
  • A R é o comprimento x, então A R = p-a.
  • B P é o comprimento y, então B P = p-b.
  • C Q é o comprimento z, então C Q = p-c.
Essas fórmulas são úteis na prova: elas aparecem sempre que temos um círculo inscrito num triângulo — os segmentos de tangência medem o semiperímetro menos o lado oposto.

Resposta

A R = p - a
B P = p - b
C Q = p - c

Exercícios relacionados