Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso pelo número
e
. Determine o valor de
, sabendo que um dos polígonos tem 34 diagonais mais do que o outro.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o valor de
sabendo que dois polígonos convexos têm números de lados
e
e que um deles tem
diagonais a mais do que o outro.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Um polígono tem
) lados. - O outro polígono tem
) lados. - A diferença no número de diagonais entre os dois polígonos é
).
O que precisamos encontrar: o valor de).
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) a fórmula para o número de diagonais de um polígono com
) lados.
Raciocínio: escolha dois vértices quaisquer e ligue-os; isso dá um segmento entre dois vértices. O número de pares distintos de vértices é o número de combinações de ) elementos tomados de dois em dois, que é
. Isso conta tanto as arestas quanto as diagonais. Como o polígono tem exatamente
) arestas (uma aresta por par de vértices consecutivos), o número de diagonais é
Raciocínio: escolha dois vértices quaisquer e ligue-os; isso dá um segmento entre dois vértices. O número de pares distintos de vértices é o número de combinações de
Agora calculamos explicitamente:
logo
Portanto, para um polígono de
) lados o número de diagonais é
. Aqui
) representa o número de lados do polígono.
Passo 3
Aplique a fórmula aos dois polígonos:
- Para o polígono com
) lados, o número de diagonais é
- Para o polígono com
) lados, o número de diagonais é
Passo 4
Usamos a informação de que a diferença entre os números de diagonais é
). Sem perda de generalidade, suponha que o polígono maior em lados tem mais diagonais, então
Substituindo as expressões:
Passo 5
Vamos simplificar a equação passo a passo. Colocando em um único denominador:
Multiplicamos os fatores e simplificamos o numerador. Primeiro expanda cada produto:
Agora substituímos:
Subtraindo no numerador:
Passo 6
Continue a simplificação:
Então a equação vira
Isolando
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar):
- Para
): número de diagonais do polígono com ) lados é
- Para
): número de diagonais é
Diferença
, que confere com o enunciado. Além disso
) é um inteiro maior que
, então é admissível como número de lados de um polígono convexo.