Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso pelo número n e n+4. Determine o valor de n, sabendo que um dos polígonos tem 34 diagonais mais do que o outro.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o valor de n sabendo que dois polígonos convexos têm números de lados n e n+4 e que um deles tem 34 diagonais a mais do que o outro.
Informações dadas:
  • Um polígono tem \,n) lados.
  • O outro polígono tem \,n+4) lados.
  • A diferença no número de diagonais entre os dois polígonos é \,34).
    O que precisamos encontrar: o valor de \,n).

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) a fórmula para o número de diagonais de um polígono com \,s) lados.
Raciocínio: escolha dois vértices quaisquer e ligue-os; isso dá um segmento entre dois vértices. O número de pares distintos de vértices é o número de combinações de \,s) elementos tomados de dois em dois, que é \displaystyle \binom{s}{2}. Isso conta tanto as arestas quanto as diagonais. Como o polígono tem exatamente \,s) arestas (uma aresta por par de vértices consecutivos), o número de diagonais é
\binom{s}{2}-s.
Agora calculamos explicitamente:
\binom{s}{2}=\frac{s(s-1)}{2},
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\text{nº de diagonais}=\frac{s(s-1)}{2}-s=\frac{s(s-1)-2s}{2}=\frac{s(s-3)}{2}.º
Portanto, para um polígono de \,s) lados o número de diagonais é \displaystyle \frac{s(s-3)}{2}. Aqui \,s) representa o número de lados do polígono.

Passo 3

Aplique a fórmula aos dois polígonos:
  • Para o polígono com \,n) lados, o número de diagonais é
D_1=\frac{n(n-3)}{2}.
  • Para o polígono com \,n+4) lados, o número de diagonais é
D_2=\frac{(n+4)\bigl((n+4)-3\bigr)}{2}=\frac{(n+4)(n+1)}{2}.

Passo 4

Usamos a informação de que a diferença entre os números de diagonais é \,34). Sem perda de generalidade, suponha que o polígono maior em lados tem mais diagonais, então
D_2-D_1=34.
Substituindo as expressões:
\frac{(n+4)(n+1)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=34.

Passo 5

Vamos simplificar a equação passo a passo. Colocando em um único denominador:
\frac{(n+4)(n+1)-n(n-3)}{2}=34.
Multiplicamos os fatores e simplificamos o numerador. Primeiro expanda cada produto:
(n+4)(n+1)=n^2+1n+4n+4=n^2+5n+4,
n(n-3)=n^2-3n.
Agora substituímos:
\frac{\bigl(n^2+5n+4\bigr)-\bigl(n^2-3n\bigr)}{2}=34.
Subtraindo no numerador:
\frac{n^2+5n+4-n^2+3n}{2}=\frac{8n+4}{2}=34.

Passo 6

Continue a simplificação:
\frac{8n+4}{2}=4n+2.
Então a equação vira
4n+2=34.
Isolando n:
4n=34-2=32,
n=\frac{32}{4}=8.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar):
  • Para \,n=8): número de diagonais do polígono com \,8) lados é
\frac{8(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=20.
  • Para \,n+4=12): número de diagonais é
\frac{12(12-3)}{2}=\frac{12\cdot9}{2}=54.
Diferença 54-20=34, que confere com o enunciado. Além disso \,n=8) é um inteiro maior que 3, então é admissível como número de lados de um polígono convexo.

Resposta

8

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