Resolva as integrais:
integral raiz16-x^2x^3 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a integral integral raiz16 - x^2x^3,dx. O conteúdo principal aqui é técnicas de integração com radicais do tipo raiza^2-x^2, e vamos precisar usar a substituição trigonométrica x = 4sintheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x = 4sintheta, temos:
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta,
dx = 4costheta,dtheta
Então o integrando se torna
raiz16 - x^2x^3,dx = 4costheta(4sintheta)^3cdot (4costheta,dtheta) = 16cos^2theta64sin^3theta,dtheta = cos^2theta4sin^3theta,dtheta

Passo 3

Reescrevendo cos^2theta = 1 - sin^2theta, o integrando vira
1 - sin^2theta4sin^3theta = 14l(csc^3theta - cscthetar)
Logo a integral original é
integral raiz16 - x^2x^3,dx = 14integral l(csc^3theta - cscthetar),dtheta

Passo 4

Agora integramos cada termo:
integral csctheta,dtheta = lnl|csctheta - cotthetar| + C,
integral csc^3theta,dtheta = -tfrac12cscthetacottheta + tfrac12lnl|tan(tfractheta2)r| + C
Portanto
14integral l(csc^3theta - cscthetar),dtheta = -18cscthetacottheta + 18lnl|tan(tfractheta2)r| - 14lnl|csctheta - cotthetar| + C

Passo 5

Para voltar a x, usamos:
sintheta = x4, costheta = raiz16 - x^24,
csctheta = 4x, cottheta = raiz16 - x^2x, tantheta2 = 4 - raiz16 - x^2x
Substituindo e reunindo os termos logarítmicos, obtemos a forma mais simples:
final_answer":"-\frac{\sqrt{16 - x{2}}}{2x{2}} + \frac{1}{8}\ln\left|\frac{x}{4 - \sqrt{16 - x^{2}}}\right| + C"

Exercícios relacionados