Suponha que
é alguma matriz invertível desconhecida, mas que você conhece uma seqüência de operações elementares por linhas que produz a matriz identidade quando efetuada sucessivamente em
. Explique como você pode usar a informação disponível para encontrar
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz invertível desconhecida, mas conhecemos uma sequência de operações elementares por linhas (digamos
) que, quando aplicadas sucessivamente em
, transformam-na na matriz identidade
. O conteúdo aqui é a relação entre operações elementares e matrizes elementares, e como disso obter
.
Passo 2
Cada operação elementar por linhas
corresponde a multiplicar
à esquerda por uma matriz elementar
. Assim, se aplicamos em ordem
depois
até
, temos
Passo 3
Da igualdade acima segue que
pois multiplicar ambos os lados por
dá exatamente o produto das
.
Passo 4
Para recuperar
basta inverter essa relação:
Como cada
é uma matriz elementar, seu inverso
também é elementar (correspondendo à operação contrária). Basta então multiplicar essas inversas na ordem
para obter
.
Resposta
Você representa cada operação por uma matriz elementar
e nota que
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