Suponha que A é alguma matriz invertível desconhecida, mas que você conhece uma seqüência de operações elementares por linhas que produz a matriz identidade quando efetuada sucessivamente em A. Explique como você pode usar a informação disponível para encontrar A.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível desconhecida, mas conhecemos uma sequência de operações elementares por linhas (digamos R_1,R_2,\dots,R_k) que, quando aplicadas sucessivamente em A, transformam-na na matriz identidade I. O conteúdo aqui é a relação entre operações elementares e matrizes elementares, e como disso obter A.

Passo 2

Cada operação elementar por linhas R_i corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E_i. Assim, se aplicamos em ordem R_1 depois R_2 até R_k, temos
E_k\,E_{k-1}\cdots E_1\,A = I.

Passo 3

Da igualdade acima segue que
A^{-1} \;=\; E_k\,E_{k-1}\cdots E_1,
pois multiplicar ambos os lados por A^{-1} dá exatamente o produto das E_i.

Passo 4

Para recuperar A basta inverter essa relação:
A \;=\;\bigl(A^{-1}\bigr)^{-1} \;=\;(E_k\,E_{k-1}\cdots E_1)^{-1} \;=\;E_1^{-1}\,E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}.
Como cada E_i é uma matriz elementar, seu inverso E_i^{-1} também é elementar (correspondendo à operação contrária). Basta então multiplicar essas inversas na ordem 1,2,\dots,k para obter A.

Resposta

Você representa cada operação por uma matriz elementar E_i e nota que
E_k\cdots E_1\,A = I
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A^{-1} = E_k\cdots E_1 \quad\text{e}\quad A = E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}.

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