Usando a formula de De Moivre mostre que:
\begin{aligned} & \cos 3 \theta=\cos ^{3} \theta-3 \cos \theta \operatorname{sen}^{2} \theta \\\ & \operatorname{sen} 3 \theta=-\operatorname{sen}^{3} \theta+3 \cos ^{2} \theta \operatorname{sen} \theta \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para derivar as fórmulas de ângulo triplo de cosseno e seno usando o Teorema de De Moivre. O conteúdo principal é a identidade de De Moivre para números complexos e a expansão binomial.

Passo 2

Lembramos do Teorema de De Moivre, que diz que para todo inteiro n vale
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).
Aqui vamos usar n=3.

Passo 3

Aplicando n=3 e expandindo pela fórmula binomial, temos
(\cos\theta + i\sin\theta)^{3} = \cos^{3}\theta + 3\,\cos^{2}\theta\,(i\sin\theta) + 3\,\cos\theta\,(i\sin\theta)^{2} + (i\sin\theta)^{3}.

Passo 4

Calculamos cada termo:
  • (i\sin\theta) = i\sin\theta.
  • (i\sin\theta)^{2} = i^{2}\sin^{2}\theta = -\sin^{2}\theta.
  • (i\sin\theta)^{3} = i^{3}\sin^{3}\theta = -\,i\,\sin^{3}\theta.
    Substituindo:
(\cos\theta + i\sin\theta)^{3} = \cos^{3}\theta + 3\,i\,\cos^{2}\theta\sin\theta - 3\,\cos\theta\sin^{2}\theta - i\,\sin^{3}\theta.

Passo 5

Agrupando parte real e imaginária:
parte real: \cos^{3}\theta - 3\,\cos\theta\,\sin^{2}\theta,
parte imaginária (fator i): 3\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta - \sin^{3}\theta.
Pelo Teorema de De Moivre isso deve ser igual a \cos(3\theta)+i\sin(3\theta).

Passo 6

Comparando as partes real e imaginária, obtemos as identidades desejadas:
\cos(3\theta)=\cos^{3}\theta - 3\,\cos\theta\,\sin^{2}\theta,
\sin(3\theta)=3\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta - \sin^{3}\theta
que equivalem exatamente ao que se queria mostrar.

Resposta

\cos 3\theta = \cos^{3}\theta - 3\,\cos\theta\,\sin^{2}\theta,
\sin 3\theta = -\,\sin^{3}\theta + 3\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

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