Prove o teorema de De Moivre:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo número natural
, vale
O conteúdo principal é prova por indução aplicada a números complexos em forma polar, usando as fórmulas de adição de cosseno e seno.
Passo 2
Caso base: para
temos
que coincide com
. Logo, o caso
é verdadeiro.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo indutivo: analisamos o expoente
. Escrevemos
Pela hipótese de indução, isto é
Fazendo a multiplicação e lembrando que
, obtemos
Passo 5
Aplicamos as fórmulas de adição de ângulos:
Portanto a expressão do passo anterior é exatamente
o que fecha o passo indutivo.
Passo 6
Concluímos por indução que, para todo
,
Resposta
A demonstração por indução mostra que o Teorema de De Moivre é válido para todo
: