Questão 21
Um barco parte da ilha de Guam e navega 285 km e
do oeste para norte. Em qual direção deve seguir agora e qual a distância a percorrer de modo que o seu deslocamento resultante seja 115 km diretamente a leste da ilha?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um barco que sai da ilha de Guam e navega 285 km em uma direção que faz um ângulo de
do oeste para o norte. Agora, queremos saber em que direção e qual a distância que o barco deve seguir a partir desse ponto para que o deslocamento total em relação à ilha seja de 115 km diretamente a leste.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e decomposição de vetores em componentes horizontais e verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o primeiro deslocamento do barco como um vetor. O barco navega 285 km a
do oeste para o norte. Vamos decompor esse vetor nas direções leste-oeste (horizontal) e norte-sul (vertical).
Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Passo 3
Calculando as componentes:
Então, o primeiro vetor de deslocamento tem componentes de aproximadamente 218,31 km para oeste e 183,00 km para norte.
Passo 4
Agora, queremos que o deslocamento resultante seja de 115 km diretamente a leste. Isso significa que, no total, a posição final do barco deve estar 115 km a leste da ilha de Guam, considerando o deslocamento inicial.
Vamos chamar o segundo deslocamento de vetor
, com magnitude
e direção a ser determinada. Para que a soma dos vetores
(primeiro deslocamento) e
resulte em um vetor
de 115 km a leste, devemos ter:
Passo 5
Vamos decompor o vetor resultante
também nas direções leste-oeste e norte-sul. Como
é de 115 km diretamente a leste, suas componentes são:
Passo 6
Agora, montamos as equações para as componentes:
Componente leste-oeste:
Aqui, o sinal negativo em 218,31 km indica que o deslocamento inicial é para o oeste.
Componente norte-sul:
Passo 7
Vamos resolver a segunda equação primeiro para encontrar
.
Isso sugere que o componente norte-supecional do segundo deslocamento deve ser de 183,00 km para o sul.
Passo 8
Agora, vamos resolver a primeira equação para encontrar
:
Passo 9
Temos agora duas equações:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para encontrar
:
Passo 10
Agora, encontramos o ângulo
:
O ângulo negativo indica que a direção está 28,6° ao sul do leste.
Passo 11
Agora, vamos encontrar a magnitude
usando a primeira equação:
Usando
:
Resposta
O barco deve navegar aproximadamente 379,3 km na direção de 28,6° ao sul do leste para que o deslocamento resultante seja de 115 km diretamente a leste da ilha de Guam.