Questão 21

Um barco parte da ilha de Guam e navega 285 km e 40,0^circ do oeste para norte. Em qual direção deve seguir agora e qual a distância a percorrer de modo que o seu deslocamento resultante seja 115 km diretamente a leste da ilha?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um barco que sai da ilha de Guam e navega 285 km em uma direção que faz um ângulo de 40,0^circ do oeste para o norte. Agora, queremos saber em que direção e qual a distância que o barco deve seguir a partir desse ponto para que o deslocamento total em relação à ilha seja de 115 km diretamente a leste.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e decomposição de vetores em componentes horizontais e verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o primeiro deslocamento do barco como um vetor. O barco navega 285 km a 40,0^circ do oeste para o norte. Vamos decompor esse vetor nas direções leste-oeste (horizontal) e norte-sul (vertical).
Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Componente <=ste-oeste = 285 cdot cos(40^circ)
Componente norte-sul = 285 cdot sin(40^circ)

Passo 3

Calculando as componentes:
cos(40^circ) approx 0,7660 Rightarrow 285 cdot 0,7660 approx 218,31 km (para o oeste)
sin(40^circ) approx 0,6428 Rightarrow 285 cdot 0,6428 approx 183,00 km (para o norte)
Então, o primeiro vetor de deslocamento tem componentes de aproximadamente 218,31 km para oeste e 183,00 km para norte.

Passo 4

Agora, queremos que o deslocamento resultante seja de 115 km diretamente a leste. Isso significa que, no total, a posição final do barco deve estar 115 km a leste da ilha de Guam, considerando o deslocamento inicial.
Vamos chamar o segundo deslocamento de vetor B , com magnitude B e direção a ser determinada. Para que a soma dos vetores A (primeiro deslocamento) e B resulte em um vetor R de 115 km a leste, devemos ter:
A + B = R

Passo 5

Vamos decompor o vetor resultante R também nas direções leste-oeste e norte-sul. Como R é de 115 km diretamente a leste, suas componentes são:
Componente <=ste = 115 km
Componente norte-sul = 0 km

Passo 6

Agora, montamos as equações para as componentes:
Componente leste-oeste:
-218,31 km + B cdot cos(theta) = 115 km
Aqui, o sinal negativo em 218,31 km indica que o deslocamento inicial é para o oeste.
Componente norte-sul:
183,00 km + B cdot sin(theta) = 0 km

Passo 7

Vamos resolver a segunda equação primeiro para encontrar theta .
183,00 + B cdot sin(theta) = 0 Rightarrow B cdot sin(theta) = -183,00
Isso sugere que o componente norte-supecional do segundo deslocamento deve ser de 183,00 km para o sul.

Passo 8

Agora, vamos resolver a primeira equação para encontrar B :
-218,31 + B cdot cos(theta) = 115 Rightarrow B cdot cos(theta) = 115 + 218,31 = 333,31

Passo 9

Temos agora duas equações:
B cdot sin(theta) = -183,00
B cdot cos(theta) = 333,31
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para encontrar tan(theta) :
B cdot cos(theta)B cdot sin(theta) = 333,31-183,00 Rightarrow cot(theta) = -1,82
tan(theta) = -11,82 approx -0,549

Passo 10

Agora, encontramos o ângulo theta :
theta = arctan(-0,549) approx -28,6^circ
O ângulo negativo indica que a direção está 28,6° ao sul do leste.

Passo 11

Agora, vamos encontrar a magnitude B usando a primeira equação:
B cdot cos(theta) = 333,31 Rightarrow B = 333,31cos(theta)
Usando theta = -28,6^circ :
cos(-28,6^circ) = cos(28,6^circ) approx 0,878
B approx 333,310,878 approx 379,3 km

Resposta

O barco deve navegar aproximadamente 379,3 km na direção de 28,6° ao sul do leste para que o deslocamento resultante seja de 115 km diretamente a leste da ilha de Guam.

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