Prove que em um segmento de reta existem infinitos pontos. Par isso, é preciso provar que dado qualquer número
, é possível encontrar mais que
pontos em tal segmento. Como
é qualquer, isso nos diz que existem infinitos pontos.
Passo 1
O enunciado pede para provar que um segmento de reta
contém infinitos pontos. Em termos práticos, vamos mostrar que, dado qualquer inteiro positivo
, conseguimos encontrar mais de
pontos distintos em
. Isso garante que o número de pontos não se esgota e, portanto, é infinito.
Passo 2
A estratégia é simples: provar que, para cada
, existem pelo menos
pontos distintos em
. Como
é arbitrário, o segmento terá sempre mais de
pontos e, assim, infinitos.
Passo 3
Dado um inteiro
, vamos dividir o segmento
em
partes iguais. Para isso, parametrizamos cada ponto por um peso
entre 0 e 1. Definimos, para
, o ponto
Note que:
-
e . - Se
, então , logo . - Cada
fica sobre o segmento .
Assim, já temos
pontos distintos em
.
Passo 4
Concluímos que, para qualquer inteiro
, o segmento
contém pelo menos
pontos distintos. Como não há limite para
, o número de pontos em
é infinito.
Resposta
O segmento de reta contém infinitamente muitos pontos.