Prove que em um segmento de reta existem infinitos pontos. Par isso, é preciso provar que dado qualquer número N>0, é possível encontrar mais que N pontos em tal segmento. Como N é qualquer, isso nos diz que existem infinitos pontos.

Passo 1

O enunciado pede para provar que um segmento de reta AB contém infinitos pontos. Em termos práticos, vamos mostrar que, dado qualquer inteiro positivo N, conseguimos encontrar mais de N pontos distintos em AB. Isso garante que o número de pontos não se esgota e, portanto, é infinito.

Passo 2

A estratégia é simples: provar que, para cada N, existem pelo menos N+1 pontos distintos em AB. Como N é arbitrário, o segmento terá sempre mais de N pontos e, assim, infinitos.

Passo 3

Dado um inteiro N\ge1, vamos dividir o segmento AB em N partes iguais. Para isso, parametrizamos cada ponto por um peso t entre 0 e 1. Definimos, para i=0,1,\dots,N, o ponto
P_i = (1 - \tfrac{i}{N})\,A \;+\;\tfrac{i}{N}\,B.
Note que:
  • P_0 = A e P_N = B.
  • Se i\neq j, então \tfrac{i}{N}\neq\tfrac{j}{N}, logo P_i\neq P_j.
  • Cada P_i fica sobre o segmento AB.
Assim, já temos N+1 pontos distintos em AB.

Passo 4

Concluímos que, para qualquer inteiro N, o segmento AB contém pelo menos N+1 pontos distintos. Como não há limite para N, o número de pontos em AB é infinito.

Resposta

O segmento de reta contém infinitamente muitos pontos.

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