Sejam m, m^{\prime} duas retas concorrentes e A um ponto que não pertence nem a m nem a m^{\prime}. Esboce a interseção dos semiplanos determinados por m e m^{\prime} e contendo A.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas retas concorrentes m e m' que se cruzam em um ponto, digamos O=m\cap m', e um ponto A que não está nem em m nem em m'. Queremos construir o conjunto
H = H_m(A)\;\cap\;H_{m'}(A)
onde H_m(A) é o semiplano determinado por m que contém A, e análogamente para H_{m'}(A). O conteúdo aqui é a definição de semiplano e a operação de interseção de conjuntos geométricos.

Passo 2

Definimos o semiplano H_m(A) como o conjunto de pontos que estão em m ou do lado de m em que se encontra A. Geometricamente, a reta m divide o plano em duas regiões; escolhemos aquela que contém A. Analogamente, H_{m'}(A) é a região de um dos lados de m' que contém A.

Passo 3

A interseção
H_m(A)\;\cap\;H_{m'}(A)
é, portanto, o conjunto de pontos que estão simultaneamente do mesmo lado de m que A e do mesmo lado de m' que A. Como m e m' se cruzam em O, essa interseção é exatamente o setor angular com vértice em O que contém A.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe as retas m e m' cruzando-se em O.
  2. Marque o ponto A em uma das quatro “fatias” formadas por essas retas.
  3. Trace as duas semirretas que partem de O e passam, cada uma, pelo ponto onde uma circunferência (centro O) corta m e m' na direção de A.
  4. Sombrac (ou pinte) o setor angular entre essas duas semirretas — é exatamente a região que é simultaneamente semiplano de m e de m' contendo A.

Resposta

A interseção dos semiplanos determinados por m e m' e contendo A é o setor angular com vértice em O=m\cap m' que contém A.omini

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