Exercício 6. Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. Determine o número n de pessoas presentes inicialmente na festa.

Passo 1

Resumindo o enunciado, chamamos de W o número inicial de mulheres e de M o número inicial de homens, de modo que n=W+M. Primeiro, 31 mulheres saem e passa a valer a razão de 2 homens para cada mulher. Depois, 55 homens saem e passa a valer a razão de 3 mulheres para cada homem. Vamos traduzir essas duas situações em equações.

Passo 2

Após 31 mulheres saírem, restam W-31 mulheres e M homens. A condição “2 homens para cada mulher” dá
\frac{M}{W-31}=2
Logo, em forma de igualdade,
M=2\,(W-31)=2W-62.

Passo 3

Em seguida saem 55 homens, ficando M-55 homens e ainda W-31 mulheres. A nova razão “3 mulheres para cada homem” dá
\frac{W-31}{\,M-55\,}=3
Portanto
W-31=3\,(M-55)=3M-165
e isolando W:
W=3M-165+31=3M-134.

Passo 4

Substituímos M=2W-62 em W=3M-134:
W=3(2W-62)-134=6W-186-134=6W-320
\Longrightarrow\quad 0=5W-320 \quad\Longrightarrow\quad W=\frac{320}{5}=64.
Com isso,
M=2W-62=2\cdot64-62=128-62=66.

Passo 5

O total inicial de pessoas é
n=W+M=64+66=130.

Resposta

n=130

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