Prove o seguinte:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as duas desigualdades
e
A tarefa é provar que, a partir dessas duas informações, segue-se a desigualdade
Passo 2
Vamos transformar a segunda desigualdade em uma forma útil. A desigualdade
permanece verdadeira se multiplicarmos ambos os lados por
, MAS ao multiplicar por um número negativo a desigualdade se inverte. Portanto, multiplicando por
obtemos
Explicando intuitivamente: se, por exemplo,
e
então
porque
; ao multiplicar por
temos
, ou seja, a ordem se inverteu para números negativos.
Passo 3
Agora usamos uma propriedade básica de desigualdades: se
e
, então somando as duas desigualdades obtemos
Essa propriedade é verdadeira porque a adição preserva a ordem — somar a mesma quantidade a dois números não muda qual é o menor. Exemplo numérico: se
e
, então
, isto é,
.
Passo 4
Aplique a propriedade do Passo 3 às desigualdades que temos, escolhendo
,
,
e
. Das desigualdades
e
segue-se, ao somá-las,
Reescrevendo soma com sinal negativo de forma habitual, isso é exatamente