Prove o seguinte:
Se a<b e c>d, então a-c<b-d.

Passo 1

O enunciado dá as duas desigualdades
a<b
e
c>d.
A tarefa é provar que, a partir dessas duas informações, segue-se a desigualdade
a-c<b-d.

Passo 2

Vamos transformar a segunda desigualdade em uma forma útil. A desigualdade c>d permanece verdadeira se multiplicarmos ambos os lados por -1, MAS ao multiplicar por um número negativo a desigualdade se inverte. Portanto, multiplicando por -1 obtemos
-c<-d.
Explicando intuitivamente: se, por exemplo, c=7 e d=3 então c>d porque 7>3; ao multiplicar por -1 temos -7<-3, ou seja, a ordem se inverteu para números negativos.

Passo 3

Agora usamos uma propriedade básica de desigualdades: se x<y e u<v, então somando as duas desigualdades obtemos
x+u<y+v.
Essa propriedade é verdadeira porque a adição preserva a ordem — somar a mesma quantidade a dois números não muda qual é o menor. Exemplo numérico: se 2<5 e -7<-3, então 2+(-7)<5+(-3), isto é, -5<2.

Passo 4

Aplique a propriedade do Passo 3 às desigualdades que temos, escolhendo x=a, y=b, u=-c e v=-d. Das desigualdades
a<b
e
-c<-d
segue-se, ao somá-las,
a+(-c)<b+(-d).
Reescrevendo soma com sinal negativo de forma habitual, isso é exatamente
a-c<b-d.

Resposta

a-c<b-d

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