Prove o seguinte:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a condição
e pede para provar a afirmação
.
Informações relevantes que já temos:
Informações relevantes que já temos:
-
e são números reais (assumido implicitamente). - A única hipótese é
. - O objetivo é obter a desigualdade
.
Passo 2
Lembrete rápido sobre propriedades de desigualdades que usarei (sem pular etapas):
- Somar o mesmo número aos dois lados de uma desigualdade preserva a desigualdade. Ou seja, se
então para qualquer vale . - Para qualquer número real
vale . O número é o inverso aditivo de . - A consequência prática: se
então, somando aos dois lados, obtemos . Isso mostra que mudar o sinal de um número negativo dá um número positivo — em termos de desigualdade, multiplicar por “inverte o sinal” e, através da soma descrita, vemos que isso troca o lado da desigualdade quando aplicamos sobre uma expressão negativa.
Passo 3
Começo manipulando a hipótese
subtraindo
de ambos os lados (isto é permitido e não altera a validade da desigualdade):
Expliquei: subtrair
é o mesmo que somar
; por propriedade de desigualdades, somar
aos dois lados preserva a desigualdade.
Passo 4
A partir de
uso a ideia do passo anterior para obter o negativo dessa quantidade maior que zero. Somando
aos dois lados:
Agora calculo
:
Portanto chegamos a
Passo 5
Escrevo
de outra forma que será útil para relacionar com
e
. Observe:
porque
. Assim a desigualdade do passo anterior fica
Passo 6
Agora, a partir de
, somo
aos dois lados (novamente, soma do mesmo número em ambos os lados preserva desigualdade):
E isso é exatamente a afirmação desejada
.
Passo 7
Comentário didático e exemplo numérico curto para fixar a intuição: a ideia central é que trocar o sinal de ambos os lados de uma desigualdade inverte a ordem. Por exemplo, com
e
temos
; trocando o sinal em ambos,
e
, obtemos
, ou seja
. O passo algébrico acima formaliza essa intuição.