Prove o seguinte:
Se a<b, então -b<-a.

Passo 1

O enunciado dá a condição \,a<b\, e pede para provar a afirmação \,-b<-a\,.
Informações relevantes que já temos:
  • a e b são números reais (assumido implicitamente).
  • A única hipótese é \,a<b\,.
  • O objetivo é obter a desigualdade \,-b<-a\,.

Passo 2

Lembrete rápido sobre propriedades de desigualdades que usarei (sem pular etapas):
  • Somar o mesmo número aos dois lados de uma desigualdade preserva a desigualdade. Ou seja, se \,x<y\, então para qualquer c vale \,x+c<y+c\,.
  • Para qualquer número real x vale \,x+(-x)=0. O número -x é o inverso aditivo de x.
  • A consequência prática: se \,x<0\, então, somando -x aos dois lados, obtemos 0< -x. Isso mostra que mudar o sinal de um número negativo dá um número positivo — em termos de desigualdade, multiplicar por -1 “inverte o sinal” e, através da soma descrita, vemos que isso troca o lado da desigualdade quando aplicamos sobre uma expressão negativa.

Passo 3

Começo manipulando a hipótese \,a<b\, subtraindo b de ambos os lados (isto é permitido e não altera a validade da desigualdade):
a<b \quad\Rightarrow\quad a-b<0.
Expliquei: subtrair b é o mesmo que somar -b; por propriedade de desigualdades, somar -b aos dois lados preserva a desigualdade.

Passo 4

A partir de \,a-b<0\, uso a ideia do passo anterior para obter o negativo dessa quantidade maior que zero. Somando -(a-b) aos dois lados:
a-b<0 \quad\Rightarrow\quad 0<-(a-b).
Agora calculo -(a-b):
-(a-b) = -a + b = b-a.
Portanto chegamos a
0 < b-a.

Passo 5

Escrevo b-a de outra forma que será útil para relacionar com -a e -b. Observe:
b-a = -a + b = (-a)-(-b),
porque (-a)-(-b) = -a + b. Assim a desigualdade do passo anterior fica
0 < (-a)-(-b).

Passo 6

Agora, a partir de \,0<(-a)-(-b)\,, somo (-b) aos dois lados (novamente, soma do mesmo número em ambos os lados preserva desigualdade):
0<(-a)-(-b) \quad\Rightarrow\quad (-b) < (-a).
E isso é exatamente a afirmação desejada \,-b<-a\,.

Passo 7

Comentário didático e exemplo numérico curto para fixar a intuição: a ideia central é que trocar o sinal de ambos os lados de uma desigualdade inverte a ordem. Por exemplo, com a=2 e b=5 temos 2<5; trocando o sinal em ambos, -2 e -5, obtemos -5<-2, ou seja -b<-a. O passo algébrico acima formaliza essa intuição.

Resposta

-b<-a

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