Prove o seguinte:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
e . - Pedido: provar que
.
Estas são todas as informações que temos. Vamos provar rigorosamente a afirmação usando propriedades básicas das desigualdades entre números reais.
Passo 2
Lembrando uma tradução útil da desigualdade: para números reais, afirmar que
é equivalente a afirmar que
. Aqui a expressão
representa a diferença entre
e
; dizer que essa diferença é positiva é a forma de capturar a desigualdade.
Passo 3
Lema (adição de um mesmo número em ambos os lados preserva a desigualdade). Vou provar que, para quaisquer reais
, se
então
.
Prova do lema: suponha
. Então, pela observação do passo anterior,
.
Calcule a diferença entre e
:
Calcule a diferença entre
Como
, concluímos que
, ou seja,
. Isso prova o lema.
Passo 4
Aplicando o lema à primeira desigualdade
com
: a partir de
obtemos
Expliquei: somei
a ambos os lados; pela propriedade provada no passo anterior, a desigualdade se preserva.
Passo 5
Aplicando o lema à segunda desigualdade
com
: a partir de
obtemos
Expliquei: somei
a ambos os lados de
e usei o mesmo argumento do lema.
Passo 6
Agora usamos a transitividade da desigualdade. Temos duas desigualdades:
Pela transitividade (se
e
então
), juntando-as obtemos
Isso é exatamente o que queríamos provar.
Passo 7
(Outra maneira — útil para fixar a ideia —) Usando diferenças: de
temos
; de
temos
. A soma de dois números positivos é positiva, pois somando as desigualdades
e
vem
. Agora note que
logo
. Esta via é equivalente, só escrita de outro jeito.