Prove o seguinte:
Se a<b e c<d, então a+c<b+d.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: \,a<b e \,c<d.
  • Pedido: provar que \,a+c<b+d.
Estas são todas as informações que temos. Vamos provar rigorosamente a afirmação usando propriedades básicas das desigualdades entre números reais.

Passo 2

Lembrando uma tradução útil da desigualdade: para números reais, afirmar que x<y é equivalente a afirmar que y-x>0. Aqui a expressão y-x representa a diferença entre y e x; dizer que essa diferença é positiva é a forma de capturar a desigualdade.

Passo 3

Lema (adição de um mesmo número em ambos os lados preserva a desigualdade). Vou provar que, para quaisquer reais x,y,z, se \,x<y então \,x+z<y+z.
Prova do lema: suponha \,x<y. Então, pela observação do passo anterior, \,y-x>0.
Calcule a diferença entre y+z e x+z:
(y+z)-(x+z)=y-x.
Como y-x>0, concluímos que (y+z)-(x+z)>0, ou seja, \,x+z<y+z. Isso prova o lema.

Passo 4

Aplicando o lema à primeira desigualdade \,a<b com z=c: a partir de \,a<b obtemos
a+c<b+c.
Expliquei: somei c a ambos os lados; pela propriedade provada no passo anterior, a desigualdade se preserva.

Passo 5

Aplicando o lema à segunda desigualdade \,c<d com z=b: a partir de \,c<d obtemos
b+c<b+d.
Expliquei: somei b a ambos os lados de \,c<d e usei o mesmo argumento do lema.

Passo 6

Agora usamos a transitividade da desigualdade. Temos duas desigualdades:
a+c<b+c \qquad\text{e}\qquad b+c<b+d.
Pela transitividade (se X<Y e Y<Z então X<Z), juntando-as obtemos
a+c<b+d.
Isso é exatamente o que queríamos provar.

Passo 7

(Outra maneira — útil para fixar a ideia —) Usando diferenças: de \,a<b temos \,b-a>0; de \,c<d temos \,d-c>0. A soma de dois números positivos é positiva, pois somando as desigualdades 0<b-a e 0<d-c vem 0<(b-a)+(d-c). Agora note que
(b+d)-(a+c)=(b-a)+(d-c)>0,
logo \,a+c<b+d. Esta via é equivalente, só escrita de outro jeito.

Resposta

a+c<b+d

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