Prove que se 0 \leq x<y, então x^{n}<y^{n}, n=1,2,3, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte afirmação:
  • Informações dadas:
    • 0 \leq x < y.
    • n é um inteiro positivo, isto é n = 1,2,3,\ldots.
  • O que se pede:
    • Provar que \,x^{n} < y^{n}\, para todo n=1,2,3,\ldots.

Passo 2

Uma identidade algébrica útil: para quaisquer números x e y e inteiro n\ge 1 vale
y^{n}-x^{n}=(y-x)\sum_{j=0}^{n-1}y^{\,n-1-j}x^{\,j}.
Vou mostrar como essa identidade aparece, passo a passo.
Defina a soma
S=\sum_{j=0}^{n-1}y^{\,n-1-j}x^{\,j}=y^{\,n-1}+y^{\,n-2}x+\cdots+yx^{\,n-2}+x^{\,n-1}.
Multiplicando S por y e por x obtemos:
yS = y^{n}+y^{n-1}x+\cdots+yx^{\,n-1},
xS = y^{n-1}x+y^{n-2}x^{2}+\cdots+yx^{\,n-1}+x^{n}.
Subtraindo as duas expressões, os termos intermediários cancelam pareado a pareado, sobrando
yS - xS = y^{n}-x^{n}.
Fatorando o lado esquerdo dá
(y-x)S = y^{n}-x^{n},
que é exatamente a identidade anunciada.

Passo 3

Agora use a identidade para concluir a desigualdade. Pelas hipóteses, y-x>0. Vamos analisar a soma
S=\sum_{j=0}^{n-1}y^{\,n-1-j}x^{\,j}.
Cada termo y^{\,n-1-j}x^{\,j} é não negativo porque x\ge 0 e y> x\ge 0. Além disso, pelo menos um dos termos é estritamente positivo: por exemplo y^{\,n-1} é estritamente positivo porque y>0 (já que y>x\ge 0). Logo S>0.
Como y-x>0 e S>0, o produto (y-x)S é estritamente positivo. Pela identidade do Passo 2 temos
y^{n}-x^{n}=(y-x)S>0.
Portanto y^{n}-x^{n}>0, o que implica
x^{n}<y^{n}.

Passo 4

Um exemplo numérico rápido para sentir a ideia: tome x=1, y=2 e n=3. Então
2^{3}-1^{3}=(2-1)(2^{2}+2\cdot1+1^{2})=1\cdot(4+2+1)=7>0,
logo 1^{3}<2^{3}, coerente com a prova geral.

Passo 5

Comentário final e observação sobre a hipótese x\ge 0: a condição 0\le x<y é importante. Se permitirmos x<y com sinais negativos, a comparação entre x^{n} e y^{n} pode mudar de sinal dependendo da paridade de n. Por exemplo, com x=-2 e y=-1 temos x<y mas para n=2 obtém-se x^{2}=4>1=y^{2}. Por isso a hipótese de não negatividade é necessária para a afirmação dada.

Resposta

\text{Se }0\le x<y\text{ então }x^{n}<y^{n}\text{ para todo }n=1,2,3,\ldotsã

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