Prove o seguinte Lema
Lema 13.1: Seja
um homomorfismo de grupos e tome
seu núcleo. Então:
(a) Se
é um subgrupo de
contendo
, então
.
(b) Se
é um subgrupo de
, então
.
Lema 13.1: Seja
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar um lema sobre homomorfismos de grupos. Basicamente, temos uma função $ f: G \rightarrow H $ que respeita a estrutura dos grupos (é um homomorfismo) e o núcleo dessa função, que é o conjunto de elementos em $ G $ que são mapeados para o elemento neutro em $ H $. Vamos precisar entender conceitos como subgrupos, pré-imagem de um conjunto e como o núcleo do homomorfismo influencia essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a parte (a). Queremos mostrar que se $ A $ é um subgrupo de $ G $ que contém o núcleo $ N $, então a pré-imagem de $ f(A) $ sob $ f $ é exatamente $ A $, ou seja, $ f^{-1}(f(A)) = A $.
Passo 3
Sabemos que a pré-imagem $ f^{-1}(f(A)) $ inclui todos os elementos de $ G $ que são mapeados para algum elemento em $ f(A) $. Como $ A $ já contém o núcleo $ N $, qualquer elemento que seja diferente de $ A $ e que seja mapeado para $ f(A) $ já está dentro de $ A $.
Passo 4
Assim, qualquer elemento $ g $ em $ f^{-1}(f(A)) $ deve estar em $ A $, porque se $ f(g) $ está em $ f(A) $, então $ g $ difere de algum elemento em $ A $ por um elemento do núcleo $ N $, mas como $ N \subseteq A $, isso implica que $ g $ está em $ A $. Logo, $ f^{-1}(f(A)) \subseteq A $.
Passo 5
Por outro lado, todo elemento de $ A $ certamente está em $ f^{-1}(f(A)) $, já que ao aplicar $ f $, ele vai para $ f(A) $. Portanto, $ A \subseteq f^{-1}(f(A)) $.
Passo 6
Com as duas inclusões $ f^{-1}(f(A)) \subseteq A $ e $ A \subseteq f^{-1}(f(A)) $, concluímos que $ f^{-1}(f(A)) = A $, provando a parte (a).
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que se $ K $ é um subgrupo de $ f(G) $, então a imagem da pré-imagem de $ K $ sob $ f $ é igual a $ K $, ou seja, $ f(f^{-1}(K)) = K $.
Passo 8
Primeiro, observe que $ f^{-1}(K) $ consiste em todos os elementos em $ G $ que são mapeados para algum elemento em $ K $. Aplicando $ f $ novamente, a imagem desses elementos será exatamente $ K $, já que $ K $ está dentro de $ f(G) $.
Passo 9
Formalmente, qualquer elemento $ k $ em $ K $ tem pelo menos um pré-imagem em $ f^{-1}(K) $, e ao aplicar $ f $ nesses pré-imagens, voltamos a $ k $. Portanto, $ K \subseteq f(f^{-1}(K)) $.
Passo 10
Além disso, a imagem $ f(f^{-1}(K)) $ não pode conter elementos fora de $ K $, já que estamos mapeando apenas elementos que já estão em $ K $. Então, $ f(f^{-1}(K)) \subseteq K $.
Passo 11
Com as duas inclusões $ K \subseteq f(f^{-1}(K)) $ e $ f(f^{-1}(K)) \subseteq K $, concluímos que $ f(f^{-1}(K)) = K $, provando a parte (b).
Resposta
Provar o Lema 13.1 envolve mostrar que, para um homomorfismo $ f: G \rightarrow H $ com núcleo $ N $, se $ A $ é um subgrupo de $ G $ contendo $ N $, então $ f^{-1}(f(A)) = A $, e se $ K $ é um subgrupo de $ f(G) $, então $ f(f^{-1}(K)) = K $. Ambas as afirmações foram provadas passo a passo conforme descrito acima.