Calcule as coordenadas do \mathbf{C} no segmento AB com \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{B}(2,5), tal que 5 \overline{A B}=3 \overline{A C}+2 \overline{C B}.

Passo 1

O enunciado pede o ponto C na reta determinada por A(1,3) e B(2,5) tal que vale a relação vetorial
5\,\overrightarrow{AB}=3\,\overrightarrow{AC}+2\,\overrightarrow{CB}.
O conteúdo que usamos é geometria analítica de vetores no plano e operações de soma e multiplicação escalar de vetores.

Passo 2

Definimos \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A} e \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}.
Substituindo na equação dada:
5\bigl(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\bigr) = 3\bigl(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}\bigr) + 2\bigl(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}\bigr).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
5\overrightarrow{B}-5\overrightarrow{A} = 3\overrightarrow{C}-3\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{C} = (3\!-\!2)\overrightarrow{C} + 2\overrightarrow{B} -3\overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} +2\overrightarrow{B} -3\overrightarrow{A}.
Daí:
5\overrightarrow{B}-5\overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} +2\overrightarrow{B} -3\overrightarrow{A} \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{C} = 5\overrightarrow{B}-5\overrightarrow{A} -2\overrightarrow{B} +3\overrightarrow{A} = 3\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{A}.

Passo 4

Como \overrightarrow{A}=(1,3) e \overrightarrow{B}=(2,5), temos
\overrightarrow{C} =3(2,5)-2(1,3) =(6,15)-(2,6) =(4,9).

Resposta

As coordenadas de C são (4,9).

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