Prove o seguinte:
(1,0 ponto) Seja
uma matriz de tamanho
, onde
. Prove que se
possui uma matriz inversa à esquerda, então
possui infinitas matrizes inversas à esquerda.
(1,0 ponto) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
com
e que já existe uma matriz
de tamanho
tal que
O conteúdo envolvido é o Teorema do Postulado de Inversibilidade à esquerda e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity). Vamos usar que, se existe inversa à esquerda, então
, e daí que o espaço nulo de
tem dimensão
.
Passo 2
Como
, necessariamente
. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) aplicado a
temos
Logo existe vetor não nulo
tal que
Passo 3
Dado esse
, escolha um vetor arbitrário
e forme a matriz
. Então
é
e
Isto significa que, se definirmos
então
ou seja,
também é inversa à esquerda de
.
Passo 4
Como podemos variar livremente o vetor
(e ainda há ao menos uma direção não trivial para
), obtemos infinitamente muitas matrizes
não todas nulas. Cada escolha distinta de
gera uma inversa à esquerda distinta
.
Resposta
Portanto, se
admite uma inversa à esquerda, então existem infinitas inversas à esquerda, dadas por
onde
satisfaz
e
é qualquer vetor em
.