Prove o seguinte:
(1,0 ponto) Seja A uma matriz de tamanho m \times n, onde m>n. Prove que se A possui uma matriz inversa à esquerda, então A possui infinitas matrizes inversas à esquerda.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz m\times n com m>n e que já existe uma matriz B de tamanho n\times m tal que
B\,A = I_{n}.
O conteúdo envolvido é o Teorema do Postulado de Inversibilidade à esquerda e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity). Vamos usar que, se existe inversa à esquerda, então \rank(A)=n, e daí que o espaço nulo de A^{\mathsf T} tem dimensão m-n>0.

Passo 2

Como B\,A=I_{n}, necessariamente \rank(A)=n. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) aplicado a A^{\mathsf T}\colon \Bbb R^{m}\to\Bbb R^{n} temos
\dim\bigl(\ker(A^{\mathsf T})\bigr) \;=\; m - \rank(A^{\mathsf T}) \;=\; m - \rank(A) \;=\; m - n \;>\;0.
Logo existe vetor não nulo v\in\Bbb R^{m} tal que
A^{\mathsf T}\,v = 0 \;\Longrightarrow\; v^{\mathsf T}A = 0\quad(1\times m\;\text{vezes}\;m\times n\;\to\;1\times n).

Passo 3

Dado esse v\ne0, escolha um vetor arbitrário u\in\Bbb R^{n} e forme a matriz Z = u\,v^{\mathsf T}. Então Z é n\times m e
Z\,A \;=\; u\,(v^{\mathsf T}A) \;=\; u\cdot 0 \;=\; 0_{n\times n}.
Isto significa que, se definirmos
C = B + Z,
então
C\,A = (B+Z)\,A = B\,A + Z\,A = I_{n} + 0 = I_{n},
ou seja, C também é inversa à esquerda de A.

Passo 4

Como podemos variar livremente o vetor u\in\Bbb R^{n} (e ainda há ao menos uma direção não trivial para v), obtemos infinitamente muitas matrizes Z=u\,v^{\mathsf T} não todas nulas. Cada escolha distinta de u gera uma inversa à esquerda distinta C=B+Z.

Resposta

Portanto, se A admite uma inversa à esquerda, então existem infinitas inversas à esquerda, dadas por
B + u\,v^{\mathsf T},
onde v\neq0 satisfaz v^{\mathsf T}A=0 e u é qualquer vetor em \Bbb R^{n}.

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