( 3,0 pontos) Calcule o seguinte:
(a) (1,0 ponto) Calcule o determinante da seguinte matriz de tamanho (n-1) \times(n-1) :
A=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 & \ldots & 1 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 2 \end{array}\right] .
(b) ( 1,0 ponto) Qual é o determinante de uma matriz que troca a posição de duas linhas da matriz A acima?
(c) (1,0 ponto) Utilizando as suas respostas dos itens anteriores, prove por indução matemática que o determinante da matriz B, de tamanho n \times n, abaixo, é igual a n+1. Sugestão: faça a expansão de Laplace pela primeira linha.
B=\left[\begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 & \ldots & 1 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas. No item (a) temos a matriz A de ordem (n-1), cujo primeiro linha é toda de 1 e as demais linhas têm 2 na diagonal e 1 nos outros lugares. Precisamos calcular \det(A). No item (b) basta dizer o que acontece com o determinante se trocamos duas linhas de A. Finalmente, no item (c) queremos mostrar, por indução em n, que a matriz
B_n = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & \cdots & 1\\\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 1\\\\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 1\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 \end{pmatrix}_{n\times n}
tem \det(B_n)=n+1, usando expansão de Laplace pela primeira linha e os resultados de (a) e (b).

Passo 2

Queremos \det(A), onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 1\\\\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 1\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 \end{pmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}.
Façamos, para i=2,\dots,n-1, a operação elementar
R_i \leftarrow R_i - R_1.
Então a primeira linha continua (1,1,\dots,1) e, para i\ge2, a linha i vira
(1-1,\;2-1,\;1-1,\dots,1-1) =(0,\,1,\,0,\dots,0)
com o único 1 na posição diagonal. O resultado é uma matriz triangular superior com diagonais todas iguais a 1. Logo
\det(A)=1\cdot1\cdots1 = 1.

Passo 3

Se trocamos duas linhas quaisquer de A, basta lembrar que cada troca de linhas muda o sinal do determinante. Como \det(A)=1, a nova matriz terá
\det = -1.

Passo 4

Agora provamos por indução que \det(B_n)=n+1.
Base n=1.
B_1=(2),\quad \det(B_1)=2=1+1.
Hipótese de indução.
Suponha \det(B_{n-1})=(n-1)+1=n.
Passo indutivo.
Façamos a expansão de Laplace de \det(B_n) pela primeira linha:
\det(B_n) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j}\,b_{1j}\,\det\big(M_{1j}\big) =2\det\big(M_{11}\big) +\sum_{j=2}^n(-1)^{1+j}\det\big(M_{1j}\big),
onde M_{1j} é o menor obtido removendo linha 1 e coluna j.
  1. Para j=1, M_{11} é exatamente B_{n-1}, de modo que
\det\big(M_{11}\big)=\det(B_{n-1})=n.
  1. Para j\ge2, o menor M_{1j} é uma matriz de ordem n-1 em que a linha correspondente a i=j fica toda de 1 e as outras linhas têm 2 na diagonal e 1 nos demais lugares. Bastará então levar essa linha “toda de 1” para o topo, usando j-2 trocas de linha, e reconhecer a matriz A do item (a). Cada troca muda o sinal, de modo que
\det\big(M_{1j}\big) =(-1)^{\,j-2}\det(A) =(-1)^{\,j-2}\cdot1.
Incluindo o fator de cofactor (-1)^{1+j}, cada termo é
(-1)^{1+j}\det\big(M_{1j}\big) =(-1)^{1+j}\,(-1)^{j-2} =(-1)^{2j-1} =-1.
Como há n-1 desses termos j=2,\dots,n, o somatório é -(n-1).
Portanto
\det(B_n) =2\cdot n \;-\;(n-1) =2n -n +1 =n+1,
completando o passo indutivo.

Resposta

(a) \det(A)=1
(b) após trocar duas linhas de A, \det=-1
(c) \det(B_n)=n+1

Exercícios relacionados