(b) ( 1,0 ponto) Qual é o determinante de uma matriz que troca a posição de duas linhas da matriz A acima?
(c) (1,0 ponto) Utilizando as suas respostas dos itens anteriores, prove por indução matemática que o determinante da matriz B, de tamanho n \times n, abaixo, é igual a n+1. Sugestão: faça a expansão de Laplace pela primeira linha.
O enunciado pede três coisas. No item (a) temos a matriz A de ordem (n-1), cujo primeiro linha é toda de 1 e as demais linhas têm 2 na diagonal e 1 nos outros lugares. Precisamos calcular \det(A). No item (b) basta dizer o que acontece com o determinante se trocamos duas linhas de A. Finalmente, no item (c) queremos mostrar, por indução em n, que a matriz
onde M_{1j} é o menor obtido removendo linha 1 e coluna j.
Para j=1, M_{11} é exatamente B_{n-1}, de modo que
\det\big(M_{11}\big)=\det(B_{n-1})=n.
Para j\ge2, o menor M_{1j} é uma matriz de ordem n-1 em que a linha correspondente a i=j fica toda de 1 e as outras linhas têm 2 na diagonal e 1 nos demais lugares. Bastará então levar essa linha “toda de 1” para o topo, usando j-2 trocas de linha, e reconhecer a matriz A do item (a). Cada troca muda o sinal, de modo que