Prove o seguinte:
(1,0 ponto) Seja A uma matriz de tamanho m \times n, onde m>n. Prove que A possui matriz inversa à esquerda se e somente se \operatorname{rank}(A)=n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n} com m>n, existe uma matriz B\in\mathbb{R}^{n\times m} tal que
BA = I_{n}
(seja B uma inversa à esquerda de A) se, e somente se,
\operatorname{rank}(A)=n.
O conteúdo é posto de matriz, produto de matrizes e invertibilidade de matrizes quadradas.

Passo 2

Suponha que exista B\in\mathbb{R}^{n\times m} com
BA = I_{n}.
Então
\operatorname{rank}(BA)=\operatorname{rank}(I_{n})=n.
Por outro lado, sabe-se que em geral
\operatorname{rank}(BA)\le\min\bigl(\operatorname{rank}(B),\,\operatorname{rank}(A)\bigr)\le\operatorname{rank}(A)
e também \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n)=n. Juntando
n = \operatorname{rank}(BA)\le\operatorname{rank}(A)\le n
segue \operatorname{rank}(A)=n.

Passo 3

Agora suponha \operatorname{rank}(A)=n. Isso significa que as colunas de A são linearmente independentes em \mathbb{R}^m. Logo a matriz quadrada A^{T}A é invertível (posto máximo n). Definimos então
B \;=\; (A^{T}A)^{-1}A^{T}\;\in\mathbb{R}^{n\times m}.
Verifiquemos que B é inversa à esquerda de A:
BA = (A^{T}A)^{-1}A^{T}A = I_{n}.
Portanto, sob \operatorname{rank}(A)=n, construímos B tal que BA=I_{n}.

Resposta

Concluímos que A possui inversa à esquerda se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=n.

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