Prove o seguinte:
(1,0 ponto) Seja
uma matriz de tamanho
, onde
. Prove que
possui matriz inversa à esquerda se e somente se
.
(1,0 ponto) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para uma matriz
com
, existe uma matriz
tal que
(seja
uma inversa à esquerda de
) se, e somente se,
O conteúdo é posto de matriz, produto de matrizes e invertibilidade de matrizes quadradas.
Passo 2
Suponha que exista
com
Então
Por outro lado, sabe-se que em geral
e também
. Juntando
segue
.
Passo 3
Agora suponha
. Isso significa que as colunas de
são linearmente independentes em
. Logo a matriz quadrada
é invertível (posto máximo
). Definimos então
Verifiquemos que
é inversa à esquerda de
:
Portanto, sob
, construímos
tal que
.
Resposta
Concluímos que
possui inversa à esquerda se, e somente se,
.